题解 P5931 【[清华集训2015]灯泡】

yangrunze · 2020-07-17 22:07:25 · 题解

这计算量……可真是……酸爽……

（正因为如此，接下来的内容中，我会尽量完整地展现计算过程，如果你是懒癌晚期不想亲自算的话，计算的部分可以直接跳过）

咳咳，这个题，我的思路是这样的：设小人走过离灯泡的距离为 x ，求出影长 y 与 x 的函数解析式，这样不就转化成求函数最值的问题了嘛~

那怎么求呢？我们利用几何知识——相似三角形。

当然，这个题有一个小地方需要注意——对于不同的位置，我们要分类讨论（经历过数学中考的我已经轻车熟路~）

（以下图片都由万能的 desmos 赞助播出~动态图戳这体验）

（P.S. ：以下图片中，AB 是灯泡，MN 是小人）

1. 当影子全部落在地面上时：

根据初三的几何知识，我们可以轻松得到 \triangle OAB \sim \triangle OMN

进而可以得到 \dfrac{AB}{MN}=\dfrac{OB}{ON}

再根据我们前面函数的定义，可以得到 \dfrac{H}{h}=\dfrac{x+y}{y}

把比例式交叉相乘化成等积式，h(x+y)=Hy

去括号，移项，合并同类项，得 hx+hy=Hy,(H-h)y=hx

即 y=\dfrac{h}{H-h}x

当然，别忘了考虑自变量的取值范围：要保证影子完全落在地面上，我们还有一个要求就是 x+y\le D，

即 \dfrac{h}{H-h}x+x\le D

通分合并同类项，可以解得\dfrac{H}{H-h}x\le D，

所以第一种情况的函数解析式为 ：y=\dfrac{h}{H-h} x\quad(0\le x\le D\dfrac{H-h}{H})

2. 当影子有一部分落在墙上时：

这时，影长被分为了两部分：我们设 QN=y_1,PQ=y_2

肉眼可见 y_1=D-x，那我们只要求出 y_2 就可以啦！

那 y_2 怎么求呢？我们注意到，上一种情况的那组相似三角形依然存在，延长 BN,AM 交于点 O，还是 \triangle OAB \sim \triangle OMN

这样的话，根据上一种情况可得 ON=\dfrac{h}{H-h}x

为了方便后续计算，设 \dfrac{h}{H-h}=s，ON=sx。

我们发现，还有一组相似三角形：\triangle OPQ \sim \triangle OMN

即： \dfrac{MN}{PQ}=\dfrac{ON}{OQ}

把我们刚才设好的东西都代进去：\dfrac{h}{y_2}=\dfrac{sx}{sx-y_1}

将 y_1=D-x 代入：\dfrac{h}{y_2}=\dfrac{sx}{sx-D+x},\dfrac{h}{y_2}=\dfrac{sx}{(s+1)x-D}

即：sx\times y_2=h[(s+1)x-D]

将sx除过去，可以得到y2=\dfrac{h[(s+1)x-D]}{sx}

当然，我们还可以继续化简：我们注意到分子分母都有相同的 x，可以拆出来约掉：

将 s=\dfrac{h}{H-h} 代回到式子里面：

将 h 乘进去：y_2=H-\dfrac{D(H-h)}{x}

然后根据 y=y_1+y_2，再加上自变量取值范围，这一段的函数也就出现了：

这样的话，这个函数就很清晰得展现在我们眼前了：

（动态图戳这）

接下来，我们来考虑这个函数的最大值：这个函数时由两部分组成的，我们只需要把两部分的最大值都求出来，再取个 \max 就行了。

第一个函数非常简单：它是个斜率大于 0 的正比例函数，最大值就是当 x=D\dfrac{H-h}{H}的时候，算出 y_{\max}=\dfrac{h}{H-h}\times D\dfrac{H-h}{H}=\dfrac{Dh}{H}

那至于第 2 个函数呢，我们先把它变一下：

有没有发现红色的部分有点眼熟呢？？？

熟读高中数学必修一的小伙伴们肯定都看出来了：这是对钩函数！

（科普：对钩函数就是形如 y=ax+\frac{b}{x}的函数，是由一次函数和反比例函数相加而成，由于图像像两个，因此而得名）

我们都知道，对钩函数是跟基本不等式密不可分的。

基本不等式是啥？ 当 a>0,b>0时，a+b\ge 2\sqrt{ab}

这有什么关系？我们把这部分对勾函数带到基本不等式里看看：

即 x+\dfrac{D(H-h)}{x}\ge 2\sqrt{D(H-h)}

这一部分的最小值出来啦！

也就是说，这个函数的最大值就是D+H-2\sqrt{D(H-h)}

吗？

肯定没那么简单！在本题中，自变量是有取值范围的，也就是说：这是一个区间最值问题，我们要判断当 y 是这个“最大值”的时候， x 到底能不能取到。

那怎么判断能否取到呢？别忘了，在基本不等式中有一句话是特别重要的：

当且仅当 a=b 时，等号成立。

也就是说，当 y 取到最大值 D+H-2\sqrt{D(H-h)} 时，x=\dfrac{D(H-h)}{x}

去分母，得到 x^2=D(H-h)

解得 x_1=\sqrt{D(H-h)},x_2=-\sqrt{D(H-h)}（舍去）

也就是说，当且仅当 x=\sqrt{D(H-h)} 时，y 取到最大值。

不仅如此，我们还可以发现：当 x<\sqrt{D(H-h)} 时，y 随 x 的增大而增大；当 x>\sqrt{D(H-h)} 时，y 随 x 的增大而减小。（对钩函数的性质，有兴趣的小伙伴们可以证明一下）

就这样，我们就可以画出函数的大致图像。最后一步，就是结合图像分析在各个区间内的最值啦！

首先，当 D\dfrac{H-h}{H}\le \sqrt{D(H-h)}\le D 时，没说的，最大值就是 D+H-2\sqrt{D(H-h)}S

其次，当 \sqrt{D(H-h)}\ge D ，也就是取值范围在最大值的左边时，这时函数单调递增，当x=D 时，y=D-D+H-(H-h)=h

最后，当 \sqrt{D(H-h)}\le D\dfrac{H-h}{H} ，也就是取值范围在最大值的右边时，这时函数单调递减，当x=\dfrac{H-h}{H} 时，y=D-(H-h)\times\dfrac{D}{H}

All in all, 第二部分的函数的最大值是这样的：

这样的话，我们就成功求出了函数的最大值！

（代码很好写，我就不贴了）

方法讲完了，不过这时肯定还有小朋友有疑问：

——“yrz，我不会基本不等式和对钩函数，那怎么办呀？”

别急，我们还有一种方法——三分法。

虽然不会对钩函数，但经过适量分析，也可以发现第二部分的函数先递增，后递减，是一个单峰函数。

三分和我们熟悉的二分类似，都是每次把答案锁定在一个区间，大事化小，小事化了。我们都知道，二分是很适合单调函数的（就是要么一直上升，要么一直下降，不拐弯）；而三分呢，它适用于单峰函数或单谷函数（就是“只拐一次弯”，会出现一个最小值/最大值）

不仅如此，三分的代码和二分也很像，就是把当前的区间平均分成 3 份，然后根据两个分界点（相当于二分的 mid）的函数值确定答案在这三个区间的某一个里面。具体的操作我就不细说啦，想学的小伙伴们可以去看其它题解或者找模板题玩玩~