沙发问题的更优解！

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“你能搬着一个沙发，拐过最窄的走廊角落吗？”——这不是搬家模拟器，而是一个有趣又难啃的几何问题。

我对这个“沙发问题”的研究成果有了新的突破，在前人的基础上有了颠覆性的进步，所以在这里放上我设计的更优解模型。

沙发问题

沙发问题（Moving Sofa Problem）是这样一个数学问题：

“在一个带直角转弯的宽度为 1 的狭长走廊中，最大能通过的连通平面形状面积是多少？”

这个问题由 Leo Moser 在 1966 年提出，至今仍没有已知最优解的闭式表达式，但有很多非常巧妙的近似解！

历史上的沙发

边长为 1 的正方形沙发，面积为 1，在不旋转的情况下就可以过去。半径为 1 的半圆形沙发，面积为 \frac\pi2\approx1.5708，也可旋转着过去。

\small\tt{图片来源：https://www.zhihu.com/question/5741969956/answer/46004474878\ [1]}

还有一种 Hammersley 沙发，形状如同两个半径为 1 的扇形加上一个宽度为 \frac\pi4 的长方形，再挖掉一个半圆。

而 1992 年 Joseph L. Gerver 构造的沙发目前是所有构造中最大的一个。如下图所示，可以看做是 Hammersley 沙发的改进版，包含 18 段曲线，面积约 2.2195\ldots。

韩国人 Jineon Baek 在文章中证明了由 Joseph L. Gerver 构造的解是最优的。

新解法

正如上文所提，这个构造已经被证明是最优的了，然而这个证明据说还有待考证。我们发挥民科精神，忽略上面的内容。

Tetris Guideline（俄罗斯方块准则或指南）是由 The Tetris Company（TTC）制定的一套标准化规则，旨在统一官方授权俄罗斯方块游戏的玩法、机制和设计规范。自 2001 年起，所有获得官方授权的俄罗斯方块游戏都必须遵循这些准则，以确保玩家在不同平台上获得一致的体验。

其中比较重要的是超级旋转系统（Super Rotation System, SRS），我们将会在接下来的沙发问题中用到其中 I 块的旋转。

我们注意一下官方旋转表中对于 I 块的描述。其中从 180 度状态到右转状态有如下踢墙：，而反过来有如下的踢墙：。

\small\tt{图片来源：http://tetriswiki.cn/p/超级旋转系统\ [2]}

我们结合如上的两种踢墙，设计出了一种新的沙发。

我的模型面积达到了：4，而且这个沙发甚至是可以双向通过通道的，比传统的只能往一个方向通过的沙发强了不止一个等级。甚至在通过廊道以后还可以打出一个 tetris。真是惊人的突破！

同时，在俄罗斯方块交流群内，我们发现 I 块的长度不止是 4。在 Tetris Guideline 中提到场地的宽度是 10，所以我们最长可以造出一个长度为 9 的直角廊道，所以沙发的最大面积应该是 9，但是限于能力我们没有办法验证这个结论。如果有人能够验证，不胜感激。

参考文献

[1] 量化调酒师. 回答[EB/OL] (2024-12-03)[2025-06-27]. https://www.zhihu.com/question/5741969956/answer/46004474878.

[2] Aqua6623. 超级旋转系统[EB/OL] (2025-06-25)[2025-06-28]. http://tetriswiki.cn/p/%E8%B6%85%E7%BA%A7%E6%97%8B%E8%BD%AC%E7%B3%BB%E7%BB%9F.

[3] Jagorochi. Jagorochi 关于 SRS 踢墙的分析（存档）[EB/OL] (2006-12-06)[2025-06-28] https://web.archive.org/web/20061206093303/http://www.the-shell.net/img/srs_study.html