导数和微分

frzFRZ · 2026-02-12 16:03:01 · 算法·理论

导数相关概念

导数的定义

设函数 y = f(x) 在点 x_0 的某个邻域内有定义，当自变量 x 在 x_0 处取得增量 \Delta x（点 x_0 + \Delta x 仍在该邻域内）时，相应地，因变量取得增量 \Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)。

如果 \Delta y 与 \Delta x 之比当 \Delta x \to 0 时的极限存在，那么称函数 y = f(x) 在点 x_0 处可导，并称这个极限为函数 y = f(x) 在点 x_0 处的导数，记为 f'(x_0)，即

也可记作

可导与连续的关系

设函数 y = f(x) 在点 x 处可导，即

由具有极限的函数与无穷小的关系知道，

其中 \alpha 为当 \Delta x \to 0 时的无穷小。上式两边同乘 \Delta x，得

由此可见，当 \Delta x \to 0 时，\Delta y \to 0。这就是说，函数 y = f(x) 在点 x 处是连续的。所以，如果函数 y = f(x) 在点 x 处可导，那么函数在该点必连续。

导数的几何意义

由切线问题的讨论以及导数的定义可知：函数 y=f(x) 在点 x_0 处的导数 f'(x_0) 在几何上表示曲线 y=f(x) 在点 M(x_0, f(x_0)) 处的切线的斜率，即

其中 \alpha 是切线的倾角。

如果 y=f(x) 在点 x_0 处的导数为无穷大，那么这时曲线 y=f(x) 的割线以垂直于 x 轴的直线 x=x_0 为极限位置，即曲线 y=f(x) 在点 M(x_0, f(x_0)) 处具有垂直于 x 轴的切线 x=x_0。

根据导数的几何意义并应用直线的点斜式方程，可知曲线 y=f(x) 在点 M(x_0, y_0) 处的切线方程为

函数求导法则

基本初等函数的导数公式

函数和、差、积、商的求导法则

反函数求导法则

设 y = f(x) 在区间内严格单调、可导，且 f'(x) \neq 0，则其反函数 x = f^{-1}(y) 可导，且有

复合函数求导法则（链式法则）

设 y = f(u)，u = g(x) 均可导，则复合函数 y = f(g(x)) 可导，且

隐函数及参数方程所确定的函数的导数

隐函数的导数

隐函数的概念

如果变量 x 与 y 的函数关系由方程

确定，并且当 x 在某区间内取任意值时，相应地总有满足该方程的唯一 y 存在，则称方程 F(x,y)=0 确定了隐函数 y=y(x)。

显函数：y=f(x) 形式；
隐函数：方程 F(x,y)=0 形式，有些可以显化（如 x^2+y^2=1），有些无法显化（如 y-\sin y = x）。

隐函数求导的三种常用方法

方法一：直接对 x 求导（链式法则）

步骤：

1. 将方程中的 y 视为 x 的函数 y(x)。
2. 方程两边同时对 x 求导，遇到关于 y 的函数时，使用链式法则 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(y)=f'(y)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}。
3. 整理出含有 \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} 的项，移项解出 \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}。

例1：已知 x^2 + y^2 = 1，求 \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}。

解：两边对 x 求导：

例2：求由方程 y^5 + 2y - x - 3x^7 = 0 所确定的隐函数 y=y(x) 的导数。

解：两边对 x 求导：

方法二：利用微分形式不变性（两边微分）

原理：对等式 F(x,y)=0 两边同时取微分，利用微分法则 \mathrm{d}F(x,y)=F_x \mathrm{d}x+F_y \mathrm{d}y=0，解出 \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{F_x}{F_y}。

步骤：

1. 求 F(x,y)=0 的全微分：F_x \mathrm{d}x + F_y \mathrm{d}y = 0。
2. 解得 \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\frac{F_x}{F_y}（其中 F_y \neq 0）。

例3：求 e^y + xy - e = 0 的 \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}。

解：令 F(x,y)=e^y+xy-e，则

于是

方法三：对数求导法

适用情形：幂指函数（y=u(x)^{v(x)}）或多因子乘积、商、根式等复杂表达式。

步骤：

1. 对函数式两边取自然对数，利用对数性质化简。
2. 两边对 x 求导（此时 y 是 x 的函数）。
3. 解出 y'，并最终用 y（或原表达式）代回。

例4：已知 y = x^{\sin x}，求 y'。

解：两边取对数 \ln y = \sin x \cdot \ln x。
两边对 x 求导：

例5：求隐函数 \frac{y^x}{x^y}=1 的导数。

解：原方程可写为 y^x = x^y，两边取对数：

两边对 x 求导（视 y 为 x 的函数）：

整理：

参数方程所确定的函数的导数

参数方程形式

若 x 与 y 的函数关系通过第三个变量 t 联系：

且 \varphi(t),\psi(t) 可导，\varphi'(t)\neq0，则 y 可视为 x 的函数 y=y(x)。

导数公式

例7：椭圆 \begin{cases}x=a\cos t\\ y=b\sin t\end{cases}，求 \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}。

解：\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=-a\sin t,\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=b\cos t，

例8：摆线 \begin{cases}x=a(t-\sin t)\\ y=a(1-\cos t)\end{cases}，求 \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}。

解：\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=a(1-\cos t),\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=a\sin t，

小结

• 隐函数求导：
  • 直接法：方程两边对 x 求导，视 y 为 x 的函数，使用链式法则。
  • 微分法：利用全微分 F_x \mathrm{d}x+F_y \mathrm{d}y=0，得 y'=-F_x/F_y。
  • 对数求导法：先取对数简化，再求导，适合幂指函数、复杂乘除式。
• 参数方程求导：
  • 一阶导数 y'=\psi'(t)/\varphi'(t)。

高阶导数

定义与符号

若函数 y=f(x) 的导数 f'(x) 仍然可导，则称 f'(x) 的导数为 f(x) 的二阶导数，记为：

依此类推，n 阶导数 定义为 n-1 阶导数的导数，记作：

约定：f^{(0)}(x)=f(x)，f^{(1)}(x)=f'(x)。

莱布尼茨公式 —— 乘积的高阶导数

对于两个函数 u(x) 和 v(x) 的乘积，其 n 阶导数由莱布尼茨公式给出，形式类似于二项式展开：

高阶导数的应用

• 泰勒公式：将函数展开为多项式 f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n.
• 极值判定：若 f'(x_0)=0，f''(x_0)>0 则为极小值，f''(x_0)<0 为极大值；高阶导数可用于拐点分析。
• 物理意义：位移 s(t) 对时间的一阶导是速度 v(t)，二阶导是加速度 a(t)，三阶导称为急动度 (jerk)。

微分

微分的定义

设函数 y = f(x) 在点 x_0 的某邻域内有定义，给自变量 x 以增量 \Delta x（x_0 + \Delta x 仍在邻域内），相应地函数取得增量

若存在与 \Delta x 无关的常数 A，使得

则称函数 f 在点 x_0 可微，并称 A \Delta x 为函数在点 x_0 的微分，记作

通常将自变量的增量 \Delta x 记为 \mathrm{d}x，称为自变量的微分。由于可导与可微等价，且 A = f'(x_0)，因此

一般地，对于任意可微函数 y = f(x)，其微分定义为

微分 \mathrm{d}y 是函数增量 \Delta y 的线性主部（线性部分），它与 \Delta y 相差一个比 \Delta x 高阶的无穷小。

几何意义

在直角坐标系中，函数 y = f(x) 的图像是一条曲线。在点 M_0(x_0, f(x_0)) 处作曲线的切线，该切线的斜率即为 f'(x_0)。

当自变量获得增量 \Delta x 时，曲线上的点移动到 M(x_0+\Delta x, f(x_0+\Delta x))，切线上的纵坐标相应增加 f'(x_0) \Delta x。

• 微分 \mathrm{d}y 就是切线上纵坐标的改变量；
• 函数增量 \Delta y 是曲线上纵坐标的改变量。

因此，微分 \mathrm{d}y 是曲线在切点附近用切线近似代替曲线时，纵坐标的线性增量。当 |\Delta x| 很小时，\mathrm{d}y \approx \Delta y，误差 |\Delta y - \mathrm{d}y| 是比 |\Delta x| 更高阶的无穷小。

基本初等函数的微分公式

由 \mathrm{d}y = f'(x)\mathrm{d}x 直接可得：

微分的四则运算法则

设 u, v 都是 x 的可微函数，则：

• 线性法则 \mathrm{d}(u \pm v) = \mathrm{d}u \pm \mathrm{d}v
• 乘积法则 \mathrm{d}(u v) = v \, \mathrm{d}u + u \, \mathrm{d}v
• 商法则 \mathrm{d}\!\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v \, \mathrm{d}u - u \, \mathrm{d}v}{v^2} \quad (v \neq 0)

复合函数的微分（一阶微分形式不变性）

若 y = f(u)，且 u = g(x) 都是可微函数，则复合函数 y = f(g(x)) 的微分为

这一性质称为一阶微分形式不变性：无论 u 是自变量还是中间变量，\mathrm{d}y 均可表示为 f'(u) \mathrm{d}u 的形式。

微分在近似计算中的应用

当 |\Delta x| 很小时，函数的微分 \mathrm{d}y 可作为增量 \Delta y 的近似值，即

由此得到函数值的近似计算公式：

常用近似公式（当 |x| 很小时）

3. \ln(1+x) \approx x
4. e^x \approx 1 + x
5. \sqrt{1+x} \approx 1 + \dfrac{x}{2}
6. (1+x)^\alpha \approx 1 + \alpha x

这些公式均可通过微分近似导出。例如，对于 f(x) = \ln(1+x)，取 x_0 = 0，f'(0)=1，则 f(0+\Delta x) \approx f(0) + f'(0)\Delta x = 0 + 1 \cdot x = x。

应用举例

例1 求 \sqrt{1.02} 的近似值。
令 f(x) = \sqrt{1+x}，取 x_0 = 0，\Delta x = 0.02，则

例2 求 \sin 31^\circ 的近似值。
先将角度化为弧度：31^\circ = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{180}（因为 30^\circ = \pi/6）。取 f(x)=\sin x，x_0 = \pi/6，\Delta x = \pi/180 \approx 0.01745，f'(x)=\cos x。

（精确值约为 0.5150）