P10323 理性（Rationality）

Synthesize · 2024-04-24 19:46:51 · 题解

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考虑对一组固定的 v_i 求 RSS 最小值。

先将 RSS 转换为关于 a 的形式：

由 n\sum\limits_{i=1}^nd_i^2\neq(\sum\limits_{i=1}^nd_i)^2 知 d_i 不全相等，故 \sum\limits_{i=1}^nd_i^2>0，故此处 a=-\frac{\sum\limits_{i=1}^nd_i(b-v_i)}{\sum\limits_{i=1}^nd_i^2} 取最小值。

将此时的 RSS 转换为关于 b 的形式：

此时 RSS=\frac{1}{\sum\limits_{i=1}^nd_i^2}(\sum\limits_{i=1}^nd_i^2\sum\limits_{i=1}^n(b-v_i)^2-(\sum\limits_{i=1}^nd_i(b-v_i))^2)=\frac{(n\sum\limits_{i=1}^nd_i^2-(\sum\limits_{i=1}^nd_i)^2)b^2-2(\sum\limits_{i=1}^nv_i\sum\limits_{i=1}^nd_i^2-\sum\limits_{i=1}^nd_i\sum\limits_{i=1}^nd_iv_i)b+(\sum\limits_{i=1}^nd_i^2\sum\limits_{i=1}^nv_i^2-(\sum\limits_{i=1}^nd_iv_i)^2)}{\sum\limits_{i=1}^nd_i^2} 为一个关于 b 的二次函数。

由题 n\sum\limits_{i=1}^nd_i^2-(\sum\limits_{i=1}^nd_i)^2\neq0 且由柯西不等式知 n\sum\limits_{i=1}^nd_i^2-(\sum\limits_{i=1}^nd_i)^2\ge0。

故取 b=\frac{\sum\limits_{i=1}^nv_i\sum\limits_{i=1}^nd_i^2-\sum\limits_{i=1}^nd_i\sum\limits_{i=1}^nd_iv_i}{n\sum\limits_{i=1}^nd_i^2-(\sum\limits_{i=1}^nd_i)^2} 可使 RSS 最小。

此时 RSS=-\frac{(\sum\limits_{i=1}^nv_i\sum\limits_{i=1}^nd_i^2-\sum\limits_{i=1}^nd_i\sum\limits_{i=1}^nd_iv_i)^2}{(n\sum\limits_{i=1}^nd_i^2-(\sum\limits_{i=1}^nd_i)^2)\sum\limits_{i=1}^nd_i^2}+\frac{\sum\limits_{i=1}^nd_i^2\sum\limits_{i=1}^nv_i^2-(\sum\limits_{i=1}^nd_iv_i)^2}{\sum\limits_{i=1}^nd_i^2}。

此时的 \mathbb{E}[RSS] 即为所求。

注意到 d_i 固定，也就是说 -\frac{1}{(n\sum\limits_{i=1}^nd_i^2-(\sum\limits_{i=1}^nd_i)^2)\sum\limits_{i=1}^nd_i^2}，\sum\limits_{i=1}^nd_i 和 \sum\limits_{i=1}^nd_i^2 都是固定的。

即求 \mathbb{E}[(\sum\limits_{i=1}^nv_i\sum\limits_{i=1}^nd_i^2-\sum\limits_{i=1}^nd_i\sum\limits_{i=1}^nd_iv_i)^2] 和 \mathbb{E}[\sum\limits_{i=1}^nv_i^2] 以及 \mathbb{E}[(\sum\limits_{i=1}^nd_iv_i)^2]。