Fourier 变换从弃坑到入门

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取得无穷小 \mathrm o 和无穷大 \infty. 在遇到 \mathrm o x + \mathrm o x < x 的语句时只需知道存在一个恰当的实数 \mathrm o 使得其成立. (原因是我愿意看到本文中没有什么脏东西, 但它只不过是表面的干净, 但实质上只是深埋了一部分细节罢了).

本文的前置知识逐渐加深: 一般而言, 拥有一些简单的知识即可阅读前半部分, 但为了理解后半部分, 需要一些更深的知识.

本文介绍了一些在 OI 中近乎无用的内容, 但它是抽象调和分析的基石. 另外, 它说明了离散 Fourier 变换也是 Fourier 变换, 而不是随便规定的一个名称.

关于审核: 中文与大量数学公式混排中, 公式显然需要使用英文标点符号, 而全文不统一标点有失排版美观. 另外, 中文句号易与下标 0 混淆. 所以本文通篇使用英文标点. 求求给个通过审核吧 QAQ.

拓扑群上的积分

什么是积分?

设 X 是 Hausdorff 局部紧拓扑空间. 设 C_c(X) 为满足条件的 f 组成的集合: f : X \to \mathbb R, f 连续, \mathrm{supp}(f) = \overline{\{x \in X : f(x) \ne 0\}} 是紧集. 则不难发现 C_c(X) 是 \mathbb R-线性空间.

引理 1. 设 Y 紧, U 开, Y \subseteq U \subseteq X, 则存在开集 V, 使得 \overline V 紧, 且 Y \subseteq V \subseteq \overline V \subseteq U \subseteq X.

命题 2 (Uryson). 对于紧集 K, 开集 U 使得 K \subseteq U \subseteq X, 存在 f \in C_c(X) 使得 f|_K = 1, f|_{U^\complement} = 0.

证明. 考虑用 \dfrac 01, \dfrac 11 构建的 Stein-Brocot 树, 它涵盖了 \mathbb Q \cap [0, 1]. 现在在这个树上自上而下地构建一列紧集 K_q~(q \in \mathbb Q \cap [0, 1]). 设我们通过 \dfrac ab 和 \dfrac cd 构建了 q = \dfrac{a+c}{b+d}, 根据引理, 取 X = K_{a/b}, Y = K_{c/d}, 存在 \overline V 这个紧集, 它就被定义为 K_q. 特别地, K_0 = K, K_1 为 \varnothing 与 K 之间的紧集.

设

K_\alpha = \bigcap_{\theta > \alpha} K_\theta.~(\alpha \in [0, 1]).

根据闭集的无限交, K_\alpha 闭, 而 K_\alpha \subseteq K_0, 故 K_\alpha 是紧集. 进一步扩充: K_\alpha = \varnothing~(\alpha > 1), K_\alpha = X~(\alpha < 0), 并取 f(x) = \sup \{\alpha \mid x \in K_\alpha\}, 不难验证 f 满足条件.

当然, 常见的证明进路利用了 \mathbb Z[1/2] 的稠密性, 大同小异.

从测度到积分

一般的测度是实数轴上测度的推广. 首先, 不是所有的集合都可测 (考虑 \mathbb R/\mathbb Q 的一组 [0, 1] 中的代表元 E, 则 E + x~(-1 \le x \le 1, x \in \mathbb Q) 的并集有 [0, 1] 作为子集. 如果所有集合都可测, 那么 E 的测度不可能是 0 也不可能为正, 这就是 Vitali 集构造). 可测集合构成的集族应当满足对于可数并、可数交、取补集的运算封闭 (有人命名为 σ-代数, 但这里采取不增加过多概念的理念).

对于一个可测集族 \mathcal F, 测度函数 \mu : \mathcal F \to \mathbb R_{\ge 0} \sqcup \{\infty\} 为使得 \mu(\varnothing) = 0 与可数个不交集的并的测度等于它们的测度之和的函数. 例如, \mathbb R 上的长度和任意集合上的计数测度 (\mu(E) = |E|).

定义简单函数为 \chi_S~(S \in \mathcal F) 的有限线性组合, 则在简单函数 f 上可以定义积分

\int_X \left( \sum_{S \in \mathcal S \subseteq \mathcal F} c_S \chi_S \right) \mathrm d\mu = \sum_{S \in \mathcal S} c_S \mu(S).

其中默认 0 \cdot \infty = 0. 可以验证这个和式的值只和里面的函数有关, 和它如何写成 \chi_S 的线性组合无关. 进一步, 如果一个函数 f 使得可测集的原像是可测集, 则称 f 是可测函数. 我们可以在非负可测函数上定义积分:

\int_X f \mathrm d\mu = \sup\left\{ \int_X g \mathrm d \mu \middle| g \le f, g~\text{是简单函数} \right\}.

最后, 对于可负可测函数, 我们将它拆为正负两部, 进行积分, 相减得到答案. 再进一步, 对于 \mathbb R-线性空间 V, 取得其基 \mathfrak B, 则我们可以定义在 \mathfrak B 诱导的坐标下可测的函数的积分, 特别地, 我们可以定义复值函数的积分.

不难验证我们定义的积分满足如下性质:

从积分到测度

事实上, 对于局部紧 Hausdorff 空间 X 上的线性泛函 \mathcal I : C_c(X) \to \mathbb R, 使得 f \ge 0 \implies \mathcal I(f) \ge 0, 我们一定可以还原出 X 上的测度 \mu. 这是 Riesz 表示定理的内容. 下面给出其证明:

Riesz 表示定理的证明. 看起来我们可以直接取 \mu(S) = \mathcal I(\chi_S), 但是仔细想想就会发现 \chi_S \notin C_c(X). 所以我们使用一个逼近:

\mu(S) = \sup \left\{ \mathcal I(f) : f \in C_c(X), 0 \le f \le \chi_S \right\}~(S \in \tau).

导出任意子集的外测度:

\mu^*(S) = \sup \left\{ \mu(U) : U \subseteq S \right\}.

仍然考虑 Lebesgue 可测集的类似构造: S\in \mathcal F \iff \forall S' \in 2^X, \mu^*(S) = \mu^*(S \cap S') + \mu^*(S \setminus S'). 则 \mu^* 限制在 \mathcal F 上给出一个测度. 为了完成证明, 你还需要验证如下事项:

我们想要什么样的测度

默认 G 是局部紧群.

在 \mathbb R 的加法群上, 我们已经找到了一个好的测度, Lebesgue 测度. 它是一个正则测度, 因此适配拓扑群的拓扑性质; 它满足一个图形平移后测度不变, 因此适配拓扑群的群论性质. 这样我们就可以定义一个适配拓扑群的测度:

拓扑群 G 上的测度 \mu 是左不变的, 若对于每一个可测集 E, gE 也可测, 且 \mu(gE) = \mu(E), 它是右不变的, 若对于每一个可测集 E, Eg 也可测, 且 \mu(Eg) = \mu(E).

这就是我们需要的测度! 我们定义左/右 Haar 测度为 G 上的左/右不变正则测度. \mathbb R^n 的 Haar 测度是 Lebesgue 测度. 下面是一些其它的群的 Lebesgue 测度:

看起来, 计数测度是一个解, 但注意到对于 \mathbb R 的加法群, 包含 \{1\} 的开集都是无限集, 而正规性要求

1 = \mu(\{1\}) = \inf_{1 \in U \in \tau_{\mathbb R}} \mu(U) = \inf_{1 \in U \in \tau_{\mathbb R}} \infty = \infty,

因此计数测度不一定是正则的, 但是我们可以验证, 在离散群 G 上, 计数测度是正则的.

对于 \mathbb C 中模长为 1 的复数组成的乘法群 \mathbb S^1, 不难发现 \mathbb S^1 \simeq \mathbb R/\mathbb Z. 取得 \mathbb R/\mathbb Z 的代表元 [0, 1), 直接遗传 \mathbb R 上的 Lebesgue 测度即可. 一般地, (\mathbb S^1)^n 可以继承 [0, 1)^n 的 Lebesgue 测度.

设 V 是实有限维线性空间, 假设我们已经知道了 \mathrm{End}(V) 的加法群的 Haar 测度 \mu_+, 我们尝试导出 \mathrm{Aut}(V) 的复合群的 Haar 测度 \mu_\circ. 我们尝试将 Haar 积分规定为

\int_{\mathrm{Aut}(V)} f \mathrm d \mu_\circ = \int_{\mathrm{Aut}(V)} f k \mathrm d \mu_+,

其中 k : \mathrm{Aut}(V) \to \mathbb R 是一个未知函数. 为了保证积分的不变性, 可知:

\begin{aligned} \int_{\mathrm{Aut}(V)} f k \mathrm d \mu_+ &= \int_{\mathrm{Aut}(V)} (f \circ \mathcal T_{\boldsymbol A}) k \mathrm d \mu_+ \\ &= \int_{\mathrm{Aut}(V)} (f \circ \mathcal T_{\boldsymbol A}) (k \circ \mathcal T_{\boldsymbol A} \mathcal T_{\boldsymbol A^{-1}}) \mathrm d \mu_+ \\ &= \dfrac 1{\left|\det(\boldsymbol A)\right|^{\dim V}} \int_{\mathrm{Aut}(V)} f \cdot (k \circ \mathcal T_{\boldsymbol A^{-1}}) \mathrm d (\mu_+ \circ \mathcal T_{\boldsymbol A}). \end{aligned}

其中 \mathcal T_{\boldsymbol A} : \mathrm{End}(V) \to \mathrm{End}(V), \boldsymbol X \mapsto \boldsymbol {AX}, 其 \det 为 \det(\boldsymbol A)^{\dim V}. 因此, k 应当满足 \left|\det(\boldsymbol A)\right|^{\dim V} \cdot k \circ \mathcal T_{\boldsymbol A} = k, 两边带入 \boldsymbol A^{-1} 得 \left|\det(\boldsymbol A)\right|^{\dim V} k(\boldsymbol I) = k(\boldsymbol A^{-1}), 归一化得 k(\boldsymbol A) = \dfrac{1}{\left|\det(\boldsymbol A)\right|^{\dim V}}. 这样定义测度就是 Riesz 表示定理的内容.

怎么做积分?

下述 Haar 测度自动视为左 Haar 测度, 右 Haar 测度同理.

如何用一个函数覆盖另一个函数

设 C_c^+(G) 为 G \to \mathbb R 的正紧支撑连续函数集, f, g \in C_c^+(G). 我们尝试用平移后的 g 覆盖 f, 即尝试找到有限子集 S \subseteq G \times \mathbb R_{> 0}, 使得

\sum_{(c, t) \in S} t \cdot g(cx) \le f(x).

这样, 所有 t 的总和就是覆盖 f 所需要的 g 的总数. 我们定义总数的下确界为 \mathrm{cv}_g(f).

引理 3. g \ne 0 \implies \mathrm{cv}_g(f) < \infty.

证明. 设 g(x) > 0, 则 x 有一个函数值 > \mathrm o g(x) 的邻域 U, 用 U 的平移覆盖 \mathrm{supp}(f), 取得有限子覆盖即可.

推论 4. 正紧支撑连续函数集的积分正.

对于给定的 f_0 \in C_c^+(G), 定义 \Phi_g(f) 为 \dfrac{v(f, g)}{v(f_0, g)}. 则可以逐一验证如下性质:

引理 5. 当 \mathrm{supp}(g) \to \{1\} 时 \Phi_g(f + f') \to \Phi_g(f) + \Phi_g(f').

证明. 取得辅助函数 h \in C_c^+(G) 使得其支撑集不小于 f + f' (Uryson 引理). 设 A = f + f' + \delta g, f_0 = \dfrac fA, f'_0 = \dfrac {f'}A (在 g 的支集意外取得值 0), 则 f_0, f'_0 \in C_c^+(G). 根据一致连续性, 存在 1 的邻域 U 使得对于 x^{-1} y \in U \cup U^{-1}, |f_0(x) - f_0(y)| < \mathrm o \delta, 且对于 f_0' 也满足同样的条件.

考虑一个支集在 U 中的函数 k_U \in C_c^+(U), 并考虑前述引理, 取得 S \subseteq G \times \mathbb R_{> 0}, 使得:

A(x) \le \sum_{(t, c) \in S} c \cdot k_U(tx).

据 U 的定义: 对于 (t, c) \in S, x \in tU, |f_0(x) - f_0(t)| < \mathrm o \delta, 而没有 (t, c) \in S 与之对应的 x, f(x) = 0. 所以

f(x) = A(x) f_0(x) \le \sum_{(t, c) \in S} c \cdot k_U(tx) f_0(x) < \sum_{(t, c) \in S} c (f_0(t) + \mathrm o \delta) k_U(tx).

因此我们得到了 k_U 覆盖 f 的方案, 也就是说:

v(f, k_U) \le \sum_{(t, c) \in S} c (f_0(t) + \mathrm o \delta),

将 f 替换 f', 论证不变, 所以我们有

v(f + f', k_U) \le (1 +\mathrm o \alpha) \sum_{(t, c) \in S} c,

其中 1 来自 f_0 + f_0' \le 1. 由于 S 是任取的, 所以两边对 S 取下确界, 得:

v(f + f', k_U) \le (1 + \mathrm o \alpha) v(A, k_U),

也就是在说

\Phi_g(f) + \Phi_g(f') = \Phi_g(f + f') + \mathrm O(\alpha).

如果 g 相当接近 0, 那么 \Phi_g 相当接近线性. 我们证明的下一步就是取积分

\mathcal I (f) = \lim_{g \to 0} \Phi_g(f)

(这就是为什么 \Phi_g 的定义要除以一个奇怪的 v(f_0, g), 否则这个极限就是 0).

Tychonoff 定理

一个重要的定理是: 对于紧集 X_i~(i \in I),

X = \prod_{i \in I} X_i

也是紧的.

我们给出证明: 引入滤子, 也就是对 \cap 封闭和 A \supseteq B, B \in \mathfrak F \implies A \in \mathfrak F 的 \mathfrak F \subseteq 2^X. 滤子构成的偏序集中极大者称为超滤. 包含 \mathfrak B 的最小滤子记作 \langle \mathfrak B \rangle. 拓扑空间上的滤子 \mathfrak F 收敛于一点, 如果每个 x 的邻域都包含某个 F \in \mathfrak F, 进一步, X Hausdorff \iff 每一个滤子收敛于至多一点, X 紧 \iff 超滤收敛.

任取 X 的超滤 \mathfrak F. 取得 \mathfrak F 的各个分量, 逐分量取极限, 直接用例行公事的证明取 \mathfrak F 的极限即可.

Haar 测度的构建

可以验证 \dfrac{1}{v(f_0, f)} \le \Phi_g(f) \le v(f, f_0). 利用 Tychonoff 定理, 取得空间

X = \prod_{f \in C_c^+(G)} \left[\dfrac 1{v(f_0, f)}, v(f, f_0)\right],

对于每一个 g \in C_c^+(G), 它对应了其中一个点 g \in X. 对于每一个 1 的邻域 U, 定义 T_U 为 C_c^+(U) 在 X 中的闭包, 则有引理:

引理. 集合

\bigcap_{U~\text{: 0 的邻域}} T_U \ne \varnothing.

证明: 反证法, 若为空集, 对该式取补, 得到 X 的一个开覆盖, 取得其有限子覆盖, 这说明存在有限个邻域使得它们的 T 的交是空. 然而, 这些邻域本身的交就不能为空, 所以得到矛盾.

取得

P \in \bigcap_{U~\text{: 0 的邻域}} T_U,

设 \mathcal I(f) 为 P_f (解释: \prod_{x \in X} S_x 可以表示为选择函数 X \to \bigcup_{x \in X} S_x), 则我们有 \forall f \in C_c^+(G), \forall \delta > 0, \forall U 是 0 的邻域, 存在 k_U \in C_c^+(U), 使得 |\mathcal I(f) - \Phi_{k_U}(f)| < \delta. 所以, \mathcal I 是逼近 0 处的 \Phi 的, 而越接近 0 处, \Phi 越接近线性, 所以, 我们构造的 \mathcal I 是线性的. 故不难验证 \mathcal I 是一个平移不变的积分. 构造测度的工作交给 Riesz 表示定理.

Haar 测度的唯一性

对于不同的测度 \mu, \mu', 设 g 在 \mu' 上积分为 1, g(x^{-1}) 在 \mu 上积分为 \lambda.

\begin{aligned} \int_G f(x)\mathrm{d}\mu'(x) & = \int_G g(y)\mathrm{d}\mu(y) \int_G f(x)\mathrm{d}\mu'(x)\\ & =\int_G g(y)\mathrm{d}\mu(y)\int_G f(xy)\mathrm{d}\mu'(x)\\ & =\int_G \mathrm{d}\mu'(x)\int_G g(y)f(xy)\mathrm{d}\mu(y)\\ & =\int_G \mathrm{d}\mu'(x)\int_G g(x^{-1}y)f(y)\mathrm{d}\mu(y)\\ & =\int_G g(x^{-1}y)\mathrm{d}\mu'(x)\int_G f(y)\mathrm{d}\mu(y)\\ & =\int_G g(x^{-1})\mathrm{d}\mu'(x)\int_G f(y)\mathrm{d}\mu(y)\\ & =\lambda\int_G f(x) \mathrm{d}\mu(x). \end{aligned}

导出 \mu, \mu' 只差一个常数.

其它的好处

Haar 测度的基础性质

注意到对于 Haar 测度 \mu, \mu'(E) = \mu(Eg) 也是 Haar 测度. 设 \Delta_l(g) 为 \dfrac{\mu'}\mu. 这样 \Delta_l 是 G \to \mathbb R_{> 0} 的群同态. 如果左不变测度右不变, 那么 \Delta_l = 1, 这样的群称为幺模群, 其特例为 Abel 群和 Hausdorff 紧群 (考虑函数 f = 1).

对于左/右 Haar 测度, 考虑 G 的自同构 \sigma, 以 \sigma 平移一个函数, 得到积分, 则这个积分和原左右 Haar 测度形成常数之比值, 而这个比值记作 \Delta(\sigma).

对于左 Haar 测度, 我们可以构造其对应的右 Haar 测度: \mu_r(E) = \mu_l(\{x^{-1} : x \in E\}), 在直观上是 "关于单位元 1 作中心对称", 从 \mathbb R^n 看来也确实如此.

Lie 群与其 Haar 测度简介

我们简要地讨论一下 Lie 群上的 Haar 测度: Lie 群是带有光滑流形结构的群, 刻画连续的对称性, 典型例为对固定球心的球进行的对称变换. Lie 群上的 Haar 测度该如何构建? 我们可以希望考虑 \mathrm{GL}(V) 上构造的类似物.

首先, 我们考虑 Lie 群 G 对应的 Lie 代数: \mathfrak g = \operatorname T_1 G, 其中

**命题.** 左不变光滑向量场 $F$ 组成一个线性空间, 它典范地同构于 $\operatorname{T}_1 G$. *证明.* 这个典范映射是 $F \mapsto F(1)$. 不难直接验证它线性且单, 现验证它满: 对于 $\partial \in \operatorname T_1 G$, 设向量场 $F$ 为 $g \mapsto \mathrm d L_g(1) \circ \partial$, 其中 $L_g$ 是左乘变换 $h \mapsto gh$. 敬请直接验证它左不变光滑. 现在我们可以定义 $\mathfrak g \otimes \mathfrak g \to \mathfrak g$ 了. 其构造可简洁的写为 $[X, Y] = \mathrm dX \circ Y - \mathrm dY \circ X$. 则我们有直观的等式 $$ \text{Lie 群} = \exp \text{Lie 代数}, $$ 具体地说是给出了映射 $\exp : \mathfrak g \times \mathbb R \to G$, 构造暂且略去. 习惯上, $\mathfrak{Aut}(V)$ 表示 $\mathrm{Aut}(V)$ 的 Lie 代数, 其它亦类似. 我们有 $\mathfrak{Aut}(V) \simeq \mathrm{End}(V)$. $\mathfrak o(1) \simeq \mathbb R$, $\mathfrak{so}(3)$ 同构于 $\mathbb R^3$ 附着外积. 实际上, 如下给出了常见矩阵群的 Lie 代数: $$ \begin{array}{c} \mathrm{GL}(n) \leftrightarrow \mathbb R^{n \times n} \\ \mathrm{SL}(n) \leftrightarrow \{\boldsymbol A \in \mathbb R^{n \times n} : \mathrm{tr}(\boldsymbol A) = 0\} \\ \mathrm{O}(n) \leftrightarrow \{\boldsymbol A \in \mathbb R^{n \times n} : \boldsymbol A + \boldsymbol A^\top = \mathbf 0\} \\ \mathrm{O}(n, \eta) \leftrightarrow \{\boldsymbol A \in \mathbb R^{n \times n} : \boldsymbol A^\top \eta + \eta \boldsymbol A = \boldsymbol 0\}. \end{array} $$ ### 卷积 循着通常**卷积**的定义 (等下我们似乎没有讨论过通常卷积), 自然我们有 $$ f*g(x) = \int_{ab=x} f(a) g(b), $$ 但我们只对连续函数定义了这一点, 而于 $\mathbb R$, Lebesgue 测度上, 我们定义于 $L^p$ 空间上. 故我们希望推广定义. 首先取定 $p > 1$, 将 $\lVert \cdot \rVert_p$ 简记为 $\lVert \cdot \rVert$, 则我们首先讨论一个辅助映射: $$ T_\mu(f) = \int_G f(y^{-1} x) \mathrm d \mu(y), $$ 而 $\mu$ 是 $G$ 上的一个测度甚至可负值测度 ($\mathrm dx$ 代表一个 Haar 测度, 而 $\mathrm d \mu(y)$ 代表 $\mu$ 对应的测度). 这样我们有: **引理.** $\lVert T_\mu(f) \rVert \le \lVert f \rVert \cdot \mu(G)$. *证明.* 设 $p$ 的 Young 对偶为 $q$, 则我们有: $$ \begin{aligned} \lVert T_\mu(f) \rVert^p &= \int_G \left(\int_G |f(y^{-1}x)| \mathrm d \mu(y)\right)^p \mathrm dx\\ &\le \mu(G)^{p/q} \iint_{G^2} |f(y^{-1}x)|^p \mathrm dx \mathrm d \mu(y) & \text{(H\"older)}\\ &= \mu(G)^{p/q} \int_G \left(\int_G |f(x)|^p \mathrm dx\right) \mathrm d\mu(y) & (y \gets yx) \\ &= \mu(G)^{p} \lVert f \rVert^p & \left(\dfrac pq + 1 = p\right). \end{aligned} $$ 这也是我最近看到的最优美的分析公式推导. **推论.** $T_\mu$ 是 $L^p$ 上的自有界线性算子. 至此可以通过 $C_c(G)$ 于 $L^p(G)$ 中的稠密性推广 $T_\mu$. 设 $\mu$ 为 $\langle f, \cdot \rangle$, 这样 $T_\mu(g)$ 是被积函数. 因此我们成功地定义了卷积. # Fourier 变换 我们聚焦于局部紧的 Abel 群, 因此, 我们改用加法符号. ## 构建 ### Banach 代数 我们先走一个闲招: 构建 Banach 代数的概念. **Banach 空间**是带有完备范数的向量空间. 换言之, Banach 空间是一个向量空间, 其中的向量都具有长度, 并且 Cauchy 列都收敛. **Banach 代数**是带乘法的 Banach 空间, 具体而言, 它是 $\mathbb C$-Banach 空间 $V$ 附带交换环结构, 使得环 + 线性空间构成代数, 且 $\lVert xy \rVert \le \lVert x \rVert \cdot \lVert y \rVert$. 这是分析与代数的有机结合: 可以证明 $A^\times$ 是开集, 因为 $A^\times = \{a : \lVert a-1 \rVert < 1\}$. 我们走马观花地证明 Gelfand-Mazur 定理. 设 Banach 代数 $A$, $a \in A$ 的谱被定义为 $\{\lambda \in \mathbb C : \lambda - a~\text{不可逆}\}$. 现证谱是紧集: 注意到 $a$ 的谱的补集是 $\lambda - A^\times$, 不难验证它开; 而紧性由 $\mathbb C$ 上有界 + 闭 = 紧保证. 现在设 $A \ne 0$, 则元素的谱不可能是空集: 由于 $\lambda \mapsto (\lambda - a)^{-1}$ 复可导, 所以我们将其带入一个连续线性泛函 $A \to \mathbb C$ 之后变为 $\mathbb C \to \mathbb C$ 的复可导函数 $f((\lambda - a)^{-1})$. 现在只要 $a$ 的谱是空集, 它就是全纯函数, 故恒为 $0$. 当 $f$ 走遍 $A \to \mathbb C$ 都成立这一点, 所以直觉 (或 Hahn-Banach 定理) 导出 $(\lambda - a)^{-1} = 0$, 因此这不合理. 至此, 导出 Banach 代数如果是域则这个域一定是 $\mathbb C$, 然后, 我们考虑 $A$ 作为代数上的极大谱 $\operatorname{MaxSpec} A$. 现在我们可以定义 Gelfand 变换: $A \to \mathbb C(\operatorname{MaxSpec} A)$ ($\mathbb C(X)$ 是 $X \to \mathbb C$ 的连续函数集), 定义为: $$ a \mapsto (\hat a : \mathfrak m \mapsto a \bmod \mathfrak m), $$ 其中 $x \bmod I$ 指代 $A \twoheadrightarrow A/I$ 的商同态中, $x$ 的像. 对于相应的 Abel 群 $A$, $A \to \mathbb C$ 的可积函数构成集合 $L^1(A)$, 卷积给出乘积, 逐点共轭给出 $*$ 结构, 然而它不一定拥有幺元, 因此可以称为去幺 $C^*$ 代数. 实际上, 当代数含幺交换时, 我们可以说明 $\operatorname{MaxSpec} A \simeq \operatorname{Hom}(A, \mathbb C)$, 后面是代数同态. 证明如下: 从 $\operatorname{Hom}(A, \mathbb C) \to \operatorname{MaxSpec} A$ 的映射是 $\varphi \mapsto \ker \varphi$. 我们给出其逆: 无非从 $\mathfrak m$ 出发, 合成映射 $A \twoheadrightarrow A/\mathfrak m \simeq \mathbb C$ 罢了. 这样 $\mathbb C(\operatorname{MaxSpec} A) \simeq \mathbb C(\operatorname{Hom}(A, \mathbb C))$ 通过 $\sup \dfrac{\lVert f(x) \rVert}{\lVert x \rVert}$ 给出范数. 有些时候, Gelfand 变换是同构, 比如我们即将介绍的 $C^*$ 代数: 它是带有连续映射共轭的代数. 其实际定义为: $$ a^{**} = a, (ab)^*=b^*a^*, (a+b)^*=a^*+b^*, (\lambda a)^*=\overline \lambda a^*, \lVert a^* a \rVert = \lVert a \rVert^2. $$ 对于这样的 $C^*$ 代数, 可以定义 $\Re x = \dfrac {(x+x^*)}{2}, \Im x = \dfrac{(x-x^*)}{2 \mathrm i}$, 则共轭 $*$ 运算也可以这样具体地表示, 这样不难从 $\Re$ 和 $\Im$ 证明 Gelfand 变换保 $*$ 运算. 考虑到 $$ \lVert T \rVert = \lVert T^* T \rVert = \lVert (T^* T)^{2^k} \rVert^{2^{-k}}, $$ 我们发现当 $k \to +\infty$ 的时候这就是算子的 $\sup$ 运算, 因此 $\lVert T \rVert = \sup \lvert \hat T(\lambda) \rvert$. 这样, 我们就可以证明 Gelfand 变换保共轭且保范数, 因此 Gelfand 变换的像必然是 $\mathbb C(\operatorname{MaxSpec} A)$ 的自共轭闭子代数 (每一项都可以显然地验证), 由 Stone–Weierstraß 定理, 这样的子代数一定是 $\mathbb C(\operatorname{MaxSpec} A)$ 本身, 所以根据等距性, 我们得到了一个同构. 限于篇幅, 我们不写 Stone–Weierstraß 定理的证明. 另外, 我们将要研究的 $L^1(G)$ + 卷积空间一般是不含幺元的, 这导向了**单位化**的研究. 以范畴语言说, 我们无非在寻找 $C^*\mathsf{UAlg} \to C^*\mathsf{Alg}$ 的左伴随函子. 这个函子是: 从去幺 $C^*$ 代数 $A$ 出发, 构造 $A \oplus \mathbb C$, 我们会把 $(a, z)$ 形式地写作 $a + z1$, 然后无非利用乘法分配律构造运算 $$ (a+z1)(b+w1) = ab + aw + bz + wz1 = (ab+aw+bz)+wz1. $$ 这样, 直接验证表明了一些基本事实, 我们将来应该会用到 ### Pontryagin 对偶 设 $\mathbb S^1$ 为所有模长为 $1$ 的复数之群. 我们定义局部紧 Abel 群 $G$ 上的 **Pontryagin 对偶** $G^*$ 为 $\mathrm{Hom}(G, \mathbb S^1)$. 几个例子是: $\mathbb Z^* \simeq \mathbb S^1, \mathbb R^* \simeq \mathbb R, (\mathbb S^1)^* \simeq \mathbb Z, (\mathbb Z/n \mathbb Z)^* \simeq \mathbb Z/n\mathbb Z$. 现证明 $G^*$ 是局部紧 Abel 群: 其 Abel 群构造为逐点乘, 而拓扑构造为紧-开拓扑. 关于局部紧的证明无非是在 $1$ 附近找一个充分小的邻域 $\exp(\tau \mathrm i\mathrm o)$, 在这里尝试找所要的局部紧集即可. **命题.** Pontryagin 对偶使得离散群与紧群相互对应. *证明.* 从离散群出发, 所有映射都是连续的, 所以 Pontrygain 对偶空间的拓扑直接继承自 $\mathbb S^1$, 这是一个紧集. 从紧群出发, 得知 $G \to \exp(\tau \mathrm i\mathrm o)$ 的映射只有平凡映射一个, 而这个集合是一个开集, 所以是 $0$ 的一个开邻域, 但它只包含 $0$ 本身, 推知 $G^*$ 离散. 除了 $\text{紧} \leftrightarrow \text{离散}$ 之外, 还有如下的对偶: $$ \begin{array}{c} \text{无挠} \wedge \text{离散} \leftrightarrow \text{紧} \wedge \text{联通} \\ \text{全挠} \leftrightarrow \text{pro-有限} \\ \text{可分} \leftrightarrow \text{可度量化} \\ \text{紧生成} \leftrightarrow \text{Lie 群} \end{array} $$ 说一些 advanced 的后话: 对于紧 Lie 群, 其 Pontryagin 对偶可以被表示为第 $2$ 个整系数 Lie 群上同调. 证明于 $n$Lab 上 (显然我也看不懂). ### 对偶定理 可以发现我们有类似线性空间的自然同态 $\mathrm{ev}_G : G \to G^{**}$: $x \mapsto [\phi \mapsto x]$. 对于线性空间这个同态单, 但不一定满. 然而, Pontryagin 证明了对于局部紧 Abel 群这个映射一定是同构. 首先我们证明紧群符合要求: 考虑到我们只需要说明对于每一个 $a \in G$ 都有一个 $\xi$ 使得 $\xi(a) \ne 0$ (这在线性空间情形是显然的, 但群上不一定): 我们尝试从一个平凡的情形作延拓. $$ \xi_0(a) = \begin{cases} \omega_{|a|} & |a| \ne 0 \\ \exp(\mathrm i) & |a| = 0 \end{cases}, $$ 这自然地给出 $\langle a \rangle \to \mathbb S^1$ 的同态. 首先我们考虑 $\xi_0$ 的延拓构成的偏序集, 它满足 Zorn 引理的条件, 所以我们可以设极大元为 $M$, 则 $y \notin M$ 我们在 $y \in G/M$ 上做类似的事可以导出矛盾. **引理.** 设 $A$ 是 $G^*$ 的子群, 对于 $g \in G$ 永远存在 $a \in A$ 使得 $a(g) = 1$, 则 $A$ 在 $G^*$ 中必然稠密. *证明.* 只需要证明开集交 $A$ 非空即可. 由于开集是紧开拓扑, 紧集是有限集, 现在考虑这个有限集的生成群 $H$. 这样 $\mathbb Z$ 和有限群的双对偶都是自身, 所以 $H^{**} \simeq H$. 注意到 Stone–Weierstraß 定理可以在此处推广: 假设 $A$ 中的每一个函数都限制到 $H$ 中得到的 $A_0$ 不稠密, 那么 $H^*/\overline {A_0}$ 通过具体计算发现它也是有限生成的, 也即有一个 $1 \ne \chi \in (H^*/\overline {A_0})^*$. 设商映射 $\pi : H^* \twoheadrightarrow H^*/\overline{A_0}$, 则 $\chi \circ \pi : H^* \to \mathbb S^1$, 因为 $H^{**} \simeq H$, 所以 $\chi \circ \pi$ 可以视作 $H$ 中的元素. 但是这样 $\forall f \in \overline{A_0}$, $f(\chi \circ \pi) = 0$, $A$ 的相应操作在 $A_0$ 中已然体现, 所以 $\chi \circ \pi = 0$, 矛盾. 直接对 $\mathrm{ev}(G)$ 应用这个引理得出 $\mathrm{ev}(G)$ 稠密. 然而 $\mathrm{ev}(G)$ 闭, 这导出 $\mathrm{ev}(G) = \overline{\mathrm{ev}(G)} = G^{**}$. 剩余的部分是从紧生成开子群中构造所需同构. ### 真正的构建过程 为了避免 $\hat G$ 上的 Haar 测度与 $G$ 上的 Haar 测度差一个常数, 所以我们有必要 **定义.** 连续函数 $f : G \to \mathbb C$ 的 **Fourier 变换**被定义为 $$ \hat f(\chi) = \int_G f(x) \overline{\chi(x)} \mathrm dx. $$ 通过连续函数逼近 $L^1$ 函数, 则我们也可以定义 $L^1$ 函数上的 Fourier 变换. 下面我们将看到熟悉的性质: 设 $*$ 是卷积, 则 $\widehat{f * g} = \hat f \cdot \hat g$. 证明如下: $$ \begin{aligned} \widehat{f * g}(\chi) &= \int_G (f * g)(x) \overline{\chi(x)} \mathrm dx \\ &= \int_G \left(\int_G f(y) g(x - y) \mathrm dy\right) \overline{\chi(x)} \mathrm dx \\ &= \iint_{G \times G} f(x) g(y) \mathrm dx \mathrm dy \\ &= \hat f(\chi) \hat g(\chi). \end{aligned} $$ 我们有观点: $L^1(G)$ (以卷积作为乘法) 上的 Gelfand 变换是 Fourier 变换. 对于同态 $f : L^1(G) \to \mathbb C$, 我们为了说明 $\hat f$ 是 $f$ 的 Gelfand 变换, 首先等同 $\mathbb C(\operatorname{MaxSpec} L^1(G))$ 和 $\mathbb C(\operatorname{Hom}(L^1(G), \mathbb C))$. 然后我们将 $\mathbb C(\operatorname{Hom}(L^1(G), \mathbb C))$ 和 $L^1(G^*)$ 等同起来, 这是通过 $\operatorname{Hom}(L^1(G), \mathbb C) \simeq G^*$ 实现的, 而这个同构是通过 $$ \chi \in G^* \mapsto (f \mapsto \hat f(\chi)) $$ 实现的, 这就是 Fourier 变换. 所以我们见到的 Gelfand 变换理论可以为 Fourier 变换的研究提供很大的便利. 我们引入 **Dirac 广义函数**: 这是一列函数 $\{f_n\}$, 其中 $\int_G f_n \mathrm d\mu = 1$, 而 $$ \lim_{n \to +\infty} f_n(g) = \begin{cases} +\infty & g = 0, \\ 0 & g \ne 0. \end{cases} $$ 这样, 所谓的形式极限 $\delta = \lim\limits_{n \to +\infty} f_n(g)$ 构成了 $L^1(G)$ 的幺元. ### 弱正定函数 定义函数 $f$ **弱正定**, 若对于每一个有限子集 $S \subseteq G \times \mathbb C$, 我们有 $$ \sum_{(g, z) \in S} \sum_{(h, z') \in S} z \overline{z'} f(g - g') \ge 0. $$ 可以验证, $f$ 弱正定推出 $f(-x) = \overline{f(x)}$, $|f(x)| \le f(0)$, $|f(x) - f(y)|^2 \le 2 f(0) \Re (f(0) - f(x - y))$. 证明略去. 设 $\check f(x) = \overline{f(-x)}$, 则 $f * \check f$ 永远是弱正定的. 引入 Bochner 引理: 连续弱正定函数 $\phi$ 必然有 $$ \int_{\hat G} \gamma(x) \mathrm d \nu, $$ 的形式, 其中 $\nu$ 是 $\hat G$ 上的某个测度. *证明.* 不妨设 $\phi(0) = 1$, 考虑到积分 $$ \iint_{G \times G} f(x) f(y) \overline{\phi(x - y)} \mathrm dx \mathrm dy $$ 写成 Riemann 和的形式恰好和弱正定函数的定义一致, 所以这个积分非负 (细节: 可能需要先对紧支函数讨论, 然后取极限推广到一般函数). 考虑 $$ [f, g] = \iint_{G \times G} f(x) \overline{g(y)} \phi(x - y) \mathrm dx \mathrm dy, $$ 则 $[\cdot, \cdot]$ 使得 $C(G)$ 构成内积空间. 其上的 Cauchy-Schwarz 不等式告诉我们 $|[f, g]| \le [f, f] \cdot [g, g]$. 考虑 Dirac 广义函数 $\delta$, 以 $g = \delta$ 带入 Cauchy-Schwarz 不等式有 $|[f, \delta]|^2 \le [f, f]$. 设卷积 $F = f * \check f$, 则 $[F, \delta] = [f, f]$. 这样根据上述结果, 有 $$ [F, \delta] \le [F^2, \delta]^{1/2} \le \dots \le [F^{2^n}, \delta]^{2^{-n}} \le \lVert F^{2^n} \rVert_1^{2^{-n}}. $$ 其中 $F^n$ 代表卷积. 当 $n \to +\infty$ 时最后一项趋于 $\lVert \hat F \rVert = \lVert \hat f \rVert^2$. 这样, 关于 $\phi$ 的 $[\cdot, \delta]$ 可以视为一个积分运算. 根据 Riesz 表示定理, 存在 $\hat G$ 上的一个测度 $\nu$, 这就是我们想要的. ### Fourier 反演定理 我们证明 Fourier 反演定理: $G$ 上的 Haar 测度诱导 $\hat G$ 上的 Haar 测度 $\mathrm d \chi$ 使得 $$ f(x) = \int_{\hat G} \hat f(\chi) \chi(x) \mathrm d\chi. $$ 几乎处处成立. *Fourier 反演定理的证明.* Bochner 定理 (+ Jordan 对于可负测度的分解定理) 蕴含: $$ \hat f = \int_{\hat G} \gamma(x) \mathrm d \nu, $$ 形式的函数 (其中 $\nu$ 可负, 此时的 $\nu$ 暂且记作 $\nu_f$) 一定可以表示为有限个正定函数的线性组合. 考虑定义 $\operatorname{im} \hat \cdot$ 上的一个线性泛函 $T$: 对于紧支函数 $f_K$, 其支集为 $K$, 在每一个 $x \in K$ 点处取得 $f_x(x) \ne 0$ 的 $C_c^+(K)$ 元, 这样 $f_x * \check{f_x}$ 的 Fourier 变换是永远非负的函数, 且它在 $x$ 处 (进而, $x$ 的一个邻域处) 取得正值. 这样我们得到了 $|K|$ 个邻域. 考虑到 $K$ 是紧集, 所以我们可以取得有限子集 $F \subseteq K$ 使得 $$ f_\Sigma = \sum_{x \in F} f_x * \check{f_x} $$ 的 Fourier 变换在 $K$ 上非负. 这样, $f_\Sigma$ 是一个正定函数, 进而属于 $\operatorname{im} \hat{\cdot}$. 考虑到函数 $$ T(f) = \int_{\hat G} \dfrac{f}{\hat{f_\Sigma}} \mathrm d \nu_{f_\Sigma} $$ 是良定义的, 并且可以验证它具有 Riesz 表示定理的前提条件, 并且平移不变. 这样, 我们就得到了所求测度. ### Plancherel 定理 Plancherel 定理断言: $$ \int_G |\hat f(\chi)|^2 \mathrm d\chi = \int_G |f(x)|^2 \mathrm dx. $$ 我喜欢把它称为函数空间上的勾股定理. 换句话说, $L^{1 \cap 2}(G)$ 到其 Fourier 变换的映射是等距的. *证明.* Fourier 反演定理给出 $$ \begin{aligned} \int_G |f(x)|^2 \mathrm dx &= \int_G f(x) \check f(-x) \mathrm dx \\ &= \widehat{f * \check f}(0)\\ &= \int_{\hat G} \widehat{f * \check f}(\chi) \mathrm d\chi \\ &= \int_{\hat G} |\hat f(\chi)|^2 \mathrm d\chi. \end{aligned} $$ ## 实数特例 ### Heisenberg 不确定性原理 *对于本节的物理部分, 由于我的量子力学属于云玩家, 不保证不存在错误, 若发现错误请立即通知我.* 实数群上的 Fourier 分析是数学分析的标准内容, 所以我们这里其实希望讨论 $\mathbb R$ 上 Fourier 分析导出的重要/有趣结论. 首先是 Heisenberg 测不准原理 (这里需要不少的物理, 我们暂且引入自然单位制 $\hbar = c = 1$). 为此, 我们不加引导地引入**量子力学五大公设**中的前三条 (后两条对于本文来说是无用的): 1. **波函数公设.** 物理系统的每一个状态都对应于 Hilbert 空间 $\mathcal H$ 的一个向量, 这个向量作为内积的左半边时记作 $\langle \psi \rvert$, 作为右半边时记作 $\lvert \psi \rangle$; 2. **算符公设.** 描写物理系统的每一个可观测力学量都对应于一个 Hermite 线性算子 $\varphi : \mathcal H \to \mathcal H$; 3. **测量公设.** $\varphi$ 的观测量的期望为 $$ \mathbb E[\varphi] = \dfrac{\int_{\mathcal H} \langle \psi | \varphi | \psi \rangle \mathrm d \psi}{\int_{\mathcal H} \langle \psi | \psi \rangle \mathrm d \psi}. $$ 我们开始说明, 位置 $q$ 与动量 $p$ 具有 Fourier 变换的联系. 关于**位置**和**动量**在 Hilbert 空间上, 只是 $v \in \mathcal H$ 的不同**表象**, 而表象来自一个同构 $\mathcal H \simeq \mathbb C^{P}$, 注意 $P$ 在此的反变性. 我们不加定义地引入**位置表象**, 它是将一个 $\psi$ 粒子映向它在某点 $x \in P$ 处出现的概率密度的平方根. 这样, 在位置表象上, 我们可以引入**位置算符** $X(\psi)(x) = x \psi(x)$, 这样 $\mathbb E[X]$ 在一定情况可以视为 $\psi$ 的位置. 类似地, 我们引入**动量算符** $P(\psi)(x) = - \mathrm i \dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx} \psi$. 作为代数上的 Hilbert 基, 在位置表象空间上, 位置表象的基是 $\delta(x - x_0)$ (这就是废话: 在 $\mathbb F^E$ ($E$ 有限) 上的基是 $(0, \dots, 0, 1, 0, \dots, 0)$), 而动量表象的基是 $\dfrac{\exp(ikx)}{\sqrt\tau}$, 其中 $\tau = 2\pi$. 观察到这些对应的基也是这些算子的特征值. 观察到 $\psi_P$ 通过定义给出 $\psi_X$ 的方法是: $$ \psi_X(x) = \dfrac 1 \tau\int_\mathbb R \psi_P(p) \exp(\mathrm i x p) \mathrm dp. $$ 而观察到 $\hat {\mathbb R}$ 就是 $\{\exp(\mathrm ikx) : k \in \mathbb R\}$, 其上测度可能会带一个 $\dfrac 1 \tau$ 或 $\dfrac 1 {\sqrt \tau}$ 的系数. 所以说 $\psi_X = \mathcal F[\psi_P]$ 毫不过分 (注意, 绝大部分教材写 $\psi_X = \mathcal F^{-1}[\psi_P]$, 但是实际上 Fourier 变换是没有方向性的, $\mathcal F$ 和 $\mathcal F^{-1}$ 只是差一个 $\check \cdot$ 而已, 而规定那个是正那个是逆取决于在 $\mathbb R$ 上*具体* Fourier 变换的讨论). Heisenberg 不确定性的数学表示为: $$ \sigma(f) \sigma(\hat f) \geq \dfrac{1}{2}, $$ 其中我们选取的 $\hat f$ 的定义为: $$ \hat f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{\tau}} \int_{\mathbb R} f(y) \exp(-\mathrm i xy) \mathrm dy. $$ 其证明为: 设 $|f^2|$ 在 $\mathbb R$ 上的积分为 $1$, 根据 Plancherel 等式, $\hat f$ 也有这一性质, 这样它们的方差为: $$ \sigma(f) = \int_\mathbb R x^2 |f(x)^2| \mathrm dx. $$ 那么: $$ 1 = -\int_\mathbb R x(f'(x) \overline{f(x)} + \overline{f'(x)} f(x)) $$ 而对右式使用 Cauchy-Schwarz 不等式, 发现 $$ \begin{aligned} 1 &\le 2 \int_\mathbb R |x| \cdot |f(x)| \cdot |f'(x)| \\ &\le 2 \lVert x f \rVert_2 \cdot \lVert f' \rVert_2, \end{aligned} $$ 计算 $f'$ 的 Fourier 变换后使用 Plancherel 等式, 即得证. ### 等周问题 然后, 我们涉足 $\mathbb S^1 \simeq \mathbb R/\mathbb Z$ 上的 Fourier 变换, 也就是 Fourier 级数. 对于 $\mathbb R^n$ 的离散子群 $\Lambda$ 也可以考虑 $\mathbb R^n / \Lambda$, 按下不表. 这里采用的*具体* Fourier 级数为: $$ c_n = \int_{0}^1 f(x) \exp(-n \tau \mathrm i x) \mathrm dx. $$ 以此, 我们引入**等周问题**: 在周长相等的一切平面曲线中, 什么样的曲线内部有最大面积? 自然, 我们直觉地认为它是**圆**. 首先, 我们用初等几何陈列 Steiner 的成果: **定理 (Steiner).** 若等周问题的解存在, 则它一定是圆. *证明.* 设解为 $\Gamma$. 则首先, 我们证明 $\Gamma$ 是凸的: 对于 $\Gamma$ 内部 $A, B$ 两点, 若它们所成线段不在 $\Gamma$ 内部, 则把 $\Gamma$ 与线段 $AB$ 围成的部分沿着 $AB$ 做镜像变换, 得到的曲线 $\Gamma'$ 的面积显然比 $\Gamma$ 大; 而我们注意到 $\Gamma$ 中平分周长的弦一定平分面积: 对于评分周长的弦 $\ell$, 若它把 $\Gamma$ 分成两部分 $\Gamma = U \sqcup V$, $U$ 的面积大于 $V$, 则设 $U$ 沿着 $\ell$ 镜像对称得到 $U'$, 则 $U \sqcup U'$ 的面积大于 $\Gamma$; 另外, 对于这样的弦 $AB$, 必然有 **Thales 定理**成立, 即对于 $P \in \partial P$, $AP \perp BP$. 其证明: 否则设 $B'P=BP$ 使得 $AP\perp BP$, 然后带动 $BP$ 一侧的 $\Gamma$ 旋转, 得到的曲线面积显然大于 $\Gamma$. 这样我们证明了 $\Gamma$ 是凸的, 并且平分周长的弦平分面积, 且这样的弦满足 Thales 定理. 并且, 我们注意到对于这样的弦 $AB$, 构造直角三角形 $\triangle ABP$, 则设 $AB$ 的中点为 $O$, 我们有 $OA=OB=OP$. 这个 $P$ 是任取的 $P \in \partial \Gamma$, 所以我们证得 $\Gamma$ 是圆. ![](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/d95s39u3.png) 然而, 我们没有证明这个问题存在解! 我们应当重新梳理一下已有的几何概念: **简单闭曲线**是 $\gamma : \mathbb R/\mathbb Z \to \mathbb C$ 的单射, 其周长为 $$ \int_0^1 |\gamma'(x)| \mathrm dx, $$ 围成的面积为 $$ \int_0^1 \Im (\gamma \overline {\gamma'}) \mathrm dx. $$ 这样, 我们给出等周问题更严密的解决: 规定 $\Gamma$ 的周长为 $\tau$, 只需证明面积小于 $\dfrac \tau 2$. 定义 $\gamma$ 的 **Fourier 级数** $$ \sum_{n \in \mathbb Z} c_n \exp(n \tau \mathrm i x), $$ 则它逐点收敛于 $\gamma$ (这是因为 Fourier 反演), 并且可以逐项求导. 对求导后的 Fourier 级数应用 Parseval 恒等式得 $$ \sum_{n \in \mathbb Z} n^2 |c_n|^2 = \int_0^1 |\gamma'(x)|^2 \mathrm dx = \tau. $$ 而对定义得的面积应用 Parseval 恒等式得 $$ \begin{aligned} S &= \left\lvert \sum_{n \in \mathbb Z} n \Im (c_n \overline{c_n}) \right\rvert \\ &\le \sum_{n \in \mathbb Z} |n| |\Im (c_n \overline{c_n})| \\ &\le \dfrac 12\sum_{n \in \mathbb Z} n |c_n|^2 \\ &= \dfrac \tau 2. \end{aligned} $$ 因此, 我们证明了等周问题存在解, 并且是圆. 我们还可以通过类似的方法证明等周问题的解只有圆. ## 其它特例 ### 有限循环群 对于有限循环群, $G$ 的计数测度 $\mu(E) = |E|$ 对应的 $\hat G \simeq G$ 上的测度为归一化计数测度 $\hat \mu(E) = \dfrac{|E|}{|G|}$, 为了避免系数差异, 我们统一将其等同化: $\mu(E) = \hat \mu(E) = \dfrac{|E|}{\sqrt{|G|}}$, 而 $\hat G \simeq G$ 的同构来自于嵌入 $G \hookrightarrow \mathbb C$ 导出的, 具体地, 设 $\phi : G \to \mathbb C$, 则 $\hat g(h) = \phi(gh)$ 给出 $h \in G \to \phi(gh) \in \mathbb S^1$ 的映射, 它给出 $G \simeq \hat G$. 根据我们对测度, 同构的定义. 我们发现, $G = C_n$ 时, Fourier 变换化作 $$ \hat f(m) = \frac{1}{\sqrt n} \sum_{k=0}^{n-1} f(k) \exp(-\mathrm i \tau km/n). $$ 这样我们还有 $\hat{\hat{f}}(m) = f(n-m)$. 在短正合列 $0 \to H \to G \to K \to 0$ (这里不要求三个群循环, 两个箭头分别为 $\iota : H \to G$ 和 $\pi : G \twoheadrightarrow K$) 中, 考虑 $$ \int_H \int_K f(\iota(h) + \pi^{-1}(k)) \mathrm dh \mathrm dk, $$ 则其良定义性来自 $$ \int_H f(\iota(h)+y) \mathrm dh $$ 当 $h \gets h + h_0$ 时不会改变. 而它还是 $G$ 上一个满足 Riesz 表示定理的函数, 所以给出 $G$ 的 Haar 测度. 回归循环群. 对于循环群 $G$, 只要 $G \hookrightarrow R^\times$, 就能把 Fourier 变换定义在环 $R$ 上 (后问可能我们还会讲到局部域上的 Fourier 变换). 设 $C_n/C_a = C_b$, 陪集分解 $$ C_n = \bigsqcup_{x \in C_b} (\varsigma(x) + C_a), $$ 则先对 $f_x$: $f$ 限制到 $\varsigma(x) + C_a$ 进行 $C_a$ 上的 Fourier 变换, 得到一列 $\hat f_x \in \mathbb C^{C_a}$, 则 $\hat F : x \mapsto \hat f_x$ 是 $C_b \to \mathbb C^{C_a}$ 上的一个函数, 它还可以 Fourier 变换, 得到 $C_b \to (C_a \to \mathbb C)$, 得到 $C_n \to \mathbb C$. 现在断言: 最终得到的结果是 $f$ 的 Fourier 变换. *证明.* 作为 $C_n$ 上的 Fourier 变换, 有: $$ \begin{aligned} \hat f(g) &= \sum_{h \in C_b} \sum_{k \in \varsigma(h) + C_a} f(k) \exp(-\mathrm i \tau g k/n) \\ &= \sum_{h \in C_b} \exp(-\mathrm i \tau g \varsigma(h) / n) \sum_{k \in \varsigma(h) + C_a} f(k) \exp(-\mathrm i \tau g (k - \varsigma(h))/n) \\ &= \sum_{h \in C_b} \exp(-\mathrm i \tau g \varsigma(h) / n) \hat f_{\text{在}~C_a~\text{上}} \\ &= \widehat{\left( \hat f_{\text{在}~C_a~\text{上}} \right)}_{\text{在}~C_b~\text{上}}. \end{aligned} $$ 这样, 导出了常见的 **Cooley-Tukey 算法**: $$ \mathrm{FFT}(f) = \widehat{\left( \operatorname*{\text{(拼接组合)}}_{g \in C_b} \mathrm{FFT}\left( f|_{\varsigma(g) C_a} \right) \right)}_{\text{在}~C_b~\text{上}}. $$ (其中, 拼接组合是一个大运算符, 和 $\sum$ 等用法类似, 将若干个序列拼接.) 当使用的 $C_n/C_a = C_b$ 为 $C_{p^m}/C_{p^{m-1}} = C_p$ 时, 得到所谓的 **$p$-进 (radix) Cooley-Tukey 算法**, 其中数 $p = 2$ 尤为常用. ### 量子 Fourier 变换 设 $Q\mathbb C = \mathbf F(\{\left\lvert 0 \right\rangle, \left\lvert 1 \right\rangle\})$, 其中 $\mathbf F$ 代表自由群, $Q^n \mathbb C = \bigotimes^n Q \mathbb C$. 考虑 $n$-量子比特计算机可以在极短的时间内计算 $Q^n \mathbb C$, 但我们难以知道 $Q^n \mathbb C$ 作为 $2^n$ 维空间的一组坐标 $$ Q^n \mathbb C \ni \left\lvert \psi \right\rangle = \sum_{x \in \{0, 1\}^n} \alpha_x \left\lvert x \right\rangle. $$ 但, 如果它有规律可循, 那就不一样了, 例如, 如果 $\alpha_x = \exp(\mathrm i \tau kx/ 2^n)$, 则我们可以直接计算其 Fourier 变换, 得到 $\mathcal F \left\lvert \alpha \right\rangle = \left\lvert k \right\rangle$. 注意到 $\mathcal F^4 = \mathrm{id}$, 所以 $\mathcal F$ 是幺正算符. 量子 Fourier 变换的推导为: $$ \begin{aligned} \mathcal F \left\lvert j \right\rangle &= \dfrac 1{\sqrt {2^n}} \sum_{k=0}^{2^n-1} \exp(-\mathrm i \tau jk /2^n) \left\lvert k \right\rangle \\ &= \dfrac 1{\sqrt {2^n}} \sum_{k_1, \dots, k_n} \exp(-\mathrm i \tau j \sum_{\ell = 1}^{n} k_\ell 2^{-\ell}) \left\lvert k \right\rangle \\ &= \dfrac 1{\sqrt {2^n}} \otimes_{\ell = 1}^n (\left\lvert 0 \right\rangle + \mathrm e^{- \mathrm i \tau j 2^{-\ell}}). \end{aligned} $$ 现在请考虑 $j 2^{-\ell} \bmod 1$. 这就是量子 Fourier 变换所干的事. ### 有序群 **有序群**指 $G = P \sqcup \{0\} \sqcup (-P)$, 而 $P + P \subseteq P$ 封闭, 同时 $P$ 是开集的 Abel 群与正锥的二元组 $(G, P)$. 另行注意 $G$ 的序不能诱导 $\hat G$ 的序 ($\mathbb Z \leftrightarrow \mathbb S^1$). 这样我们可以定义 $x > y \iff x - y \in P$. 最典型的有序群无非 $\mathbb R$. 有序的局部紧 Abel 群的结构是很简单的: $G = D$ 或 $G = \mathbb \oplus D$, 其中 $D$ 是一个离散的有序群. 下面给出其证明: **引理.** 紧有序群必然是平凡群 $0$. *证明.* 设 $(G, P)$ 是紧有序群, 设 $$ S = \bigcap_{p \in P} (p + P \sqcup \{p\}), $$ 这样我们就发现了一族紧集, 它们满足有限交性质. 所以 $S \ne \varnothing$. 考虑 $x \in S, y \in P$. 则 $x \in y + P \sqcup \{y\} \implies x - y \in P \sqcup \{0\}$, 而又有 $x + y \in P \sqcup \{0\}$. $y$ 是任取的元素, 所以 $x + G \subseteq P \sqcup \{0\}$, 即 $G = P \sqcup \{0\}$, 然后就导出 $G = \{0\}$. **结构定理.** 对于局部紧 Abel 群, 必然存在一个开子群是 $\mathbb R^n$ 与一个紧子群的直和. *证明.* 好长, 写不动. 参见 Rudin, *Fourier Analysis on Groups*. 另外这个证明中还可以说明 $G = \mathbb R^n \oplus (\text{blabla})$, 这是我们会用到的. 然后我们回到有序局部紧 Abel 群的证明. 我们根据结构定理及其证明, $G = \mathbb R^n \oplus D$, 其中 $D$ 是离散子群. 只需证明 $n \ge 2$ 时 $\mathbb R^n$ 不可有序化即可, 而这可以通过观察: $G = P \sqcup \{0\} \sqcup (-P) \implies G \setminus \{0\}$ 有两个连通分支 ($P$ 与 $-P$), 而 $\mathbb R^n \setminus \{0\}~(n \ge 2)$ 是联通的来说明. **Riesz 定理.** 请留意, 这里的 Riesz 有两人, 分别是 F. Riesz 和 M. Riesz. 设 $G$ 是紧联通 Abel 群, $\hat G$ 有序, $\mu$ 是 $G$ 上的一个可负值测度, 且其 Fourier 变换在负值上为 $0$, 设 $G$ 的 Haar 测度是 $\mathrm dx$, 正交分解给出 $$ \mathrm d \mu = \mathrm d \sigma + f \mathrm d x, $$ 则我们有: $\mu_\sigma$ 和 $f$ 的 Fourier 变换在负值上都为 $0$, 进一步, $\widehat{\mu_\sigma}(0)$ 也是 $0$. *证明.* 定义 $G$ 上的**三角多项式**为 $T = \operatorname{span}_{\mathbb R} \hat G_{> 0}$. (来点直观: 设 $G = \mathbb S^1$, 则 $\hat G$ 与 $\mathbb Z$ 的同构通过 $n \mapsto (r \mapsto \mathrm r^n)$ 给出. 这样 $\hat G_{> 0}$ 是以 $G$ 为定义与的多项式.) 通过修改 Haar 测度, 可以使得 $$ I = \inf_{p \in T} \int_G | 1 + p |^2 \mathrm d | \mu |. $$ 为正. 设 $\phi$ 属于相应的闭包, 使得 $\phi^2$ 替代 $|1+p|^2$ 取得下确界值. 可以证明, $$ \int_G (1 + p) \phi \gamma(x) \mathrm d \mu = 0~(p \in T, \gamma > 0). $$ 在 $\sigma$ 测度上, $\phi$ 几乎处处为 $0$ (这是因为 $|\phi|^2 \mathrm d |\mu| = I^2 \mathrm dx$, 而这一步是对 $\gamma$ 与 $0$ 的大小关系分类讨论得到的), 因此我们这里的 $\mathrm d \mu$ 可以直接换成 $f \mathrm dx$. 现在用三角多项式逼近 $\dfrac 1 \phi - 1$ (它的 Fourier 变换在负值上为 $0$). 在上式的 $p$ 带入这些逼近多项式, 考虑 $\phi f$ Fourier 变换在负值上为 $0$, 所以 $\hat f(\gamma) = 0~(\gamma < 0)$ ($(1 + p) \phi$ 恰好消掉, 然后剩下的就是 $\gamma(x) f \mathrm dx$ 了). 关于 $\widehat{\mu_\sigma}(0)$, 取一个 $\psi$, 使得 $$ \int_G |\psi|^2 \mathrm d |\mu_\sigma| = 0, $$ 其中 $\psi$ 也属于 $1 + T$ 的闭包. 根据 Schwarz 不等式, $\psi$ 在 $G$ 上 (以 $\mu_\sigma$ 测度) 的积分为 $0$. 然后我们发现每一个 $T$ 在 $\mu_\sigma$ 测度下的积分也是 $0$, 所以也就是说 $1$ 的积分也是 $0$. 这就是证明. 当 $G = \mathbb S^1$ 时, 可以归约到最原始的情况: 如果 $\mu$ 是一个单位圆上的测度, 使得 $$ \int_0^\tau \mathrm e^{\mathrm i n \theta} \mathrm d \mu(\theta) = 0~(n \in \mathbb Z_{> 0}), $$ 则 $\operatorname{supp} \mu \subseteq \operatorname{supp} \mathrm{Lebesgue}$. # 杂项 呼! 终于写完了! 当然, 将来可能会有一些群表示论的扩充, 敬请期待 Fourier 分析从入门到跑题 (应该是本 blog 系列的第二篇). 进而, 我们有: **命题.** $(\text{Fourier 变换从入门到跑题}) \circ (\text{Fourier 变换从弃坑到入门}) = (\text{Fourier 变换从弃坑到跑题})$. ## 参考资料 黎景辉, *拓扑群入门*. Rudin, *Fourier Analysis on Groups*.