立体几何123

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:::info[info] 想要例题？4 将会在 phigros 第 9 章更完后更新。

分为课本与课本 ext，课本几何部分是高一的笔记，怀念当时我竟然有精力得这么详细。

Th9 Gemini 认为我有问题，但我不想想了。有会的可以告诉我。

课本 几何部分

我们定义平面为一个点的集合，且对于集合中任意两个点的连线所包含的点都属于此平面。通常来说，我们用三个平面上的点或一个希腊字母表示平面，如平面 ABC 和平面 \alpha。

下文中简称平面为 \text{pl.}，如平面 ABC 为 \text{pl.}ABC。若 l 在 \text{pl.}\alpha 内，我们记为 l \subset \alpha。同理，若点在面内，我们记为 P\in\text{pl.}\alpha。

$\text{Ax2}$：直线 $l$ 上若有两点在 $\text{pl.}\alpha$ 内，则 $l \subset \alpha$。 $\text{Ax3}$：如果两个不重合的平面有一个公共点，则它们有且仅有一条过其的公共直线。 $\text{Ax4}$：平行于同一条直线的两直线平行。 --- 一些直接的推论： $\text{Th1}$：一条直线 $l$ 和 $P\not\in l$ 确定唯一 $\text{pl.}\alpha$。 $\text{Th2}$：相交直线 $a,b$ 确定唯一 $\text{pl.}\alpha$。 $\text{Th3}$：平行直线 $a,b$ 确定唯一 $\text{pl.}\alpha$。 --- 我们定义异面直线为不同时在任意一个平面内的两条直线为异面直线，同时定义一些位置关系： - 直线与平面相交，意味着只有一个公共点。 - 直线与平面平行，意味着无公共点。 - 直线在平面内，意味着有无数个公共点。 还有平面与平面的： - 两平面平行，意味着无公共点。 - 两平面相交，意味着有且仅有一条公共直线。 --- $\text{Th4}$：若 $l \subset \alpha,\ m \cap \alpha = P,\ P \notin l$，则 $l$ 与 $m$ 异面。 :::info[证明] 考虑反证法：假设 $l$ 与 $m$ 共面，则它们可确定一个唯一的 $\text{pl.}\beta$。 因为 $m \subset \beta$ 且 $m \cap \alpha = P$，所以 $P \in \text{pl.}\beta$。 同时，因为 $l \subset \beta$，且 $l \subset \alpha$，由 $\text{Ax3}$ 可知 $\alpha \cap \beta = l$。 因为 $P \in \text{pl.}\alpha$ 且 $P \in \text{pl.}\beta$，所以 $P \in \alpha \cap \beta$，即 $P \in l$。矛盾。故假设不成立，即 $l$ 与 $m$ 异面。 ::: --- $\text{Th5}$：若 $m\subset \alpha,\ l \not \subset \alpha,\ m\parallel l$，则 $l\parallel\alpha$。 :::info[证明] 考虑反证法：若 $l$ 与 $\alpha$ 不平行，则它们必相交，设 $l \cap \alpha = P$。 因为 $l \parallel m$，所以 $P \notin m$。 过点 $P$ 在 $\text{pl.}\alpha$ 内作直线 $t \parallel m$，根据 $\text{Ax4}$ 可得 $t \parallel l$。 但此时 $l$ 与 $t$ 相交于点 $P$（即 $l \cap t = P$），矛盾，故假设不成立。因此 $l \parallel \alpha$。 ::: --- $\text{Th6}$：若 $l \parallel \alpha,\ l \subset \beta,\ \alpha \cap \beta = m$，则 $l \parallel m$。 :::info[证明] 考虑反证法：若 $m$ 不平行于 $l$，因为 $l, m \subset \beta$（共面），所以它们在 $\text{pl.}\beta$ 内必相交，设交点为 $P$，即 $l \cap m = P$。 因为 $l \parallel \alpha$，所以直线 $l$ 上的任意点都在 $\text{pl.}\alpha$ 外，故 $P \notin \text{pl.}\alpha$。 但同时，因为 $P \in m$ 且 $m \subset \alpha$，所以 $P \in \text{pl.}\alpha$，矛盾，故假设不成立。因此 $l \parallel m$。 ::: --- $\text{Th7}$：若 $l, m \subset \alpha,\ l \cap m = P,\ l \parallel \beta,\ m \parallel \beta$，则 $\alpha \parallel \beta$。 :::info[证明] 考虑反证法：若 $\text{pl.}\alpha$ 与 $\text{pl.}\beta$ 不平行，设它们相交，交线为 $t$，即 $\alpha \cap \beta = t$。 由于 $l \parallel \beta$ 且 $l \subset \alpha$，由 $\text{Th6}$（线面平行性质）可得 $t \parallel l$。 同理，由于 $m \parallel \beta$ 且 $m \subset \alpha$，可得 $t \parallel m$。 根据 $\text{Ax4}$，由 $t \parallel l$ 且 $t \parallel m$ 可推出 $l \parallel m$。 这与已知条件 $l$ 与 $m$ 相交于点 $P$ 矛盾，故假设不成立。因此 $\alpha \parallel \beta$。 ::: --- $\text{Th8}$：若 $\alpha \parallel \beta,\ \theta \cap \alpha = l,\ \theta \cap \beta = m$，则 $l \parallel m$。 :::info[证明] 考虑反证法：若 $l$ 不平行于 $m$，因为 $l, m \subset \theta$（共面），所以它们在 $\text{pl.}\theta$ 内必相交，设交点为 $P$，即 $l \cap m = P$。 因为 $P \in l$ 且 $l \subset \alpha$，所以 $P \in \text{pl.}\alpha$。 因为 $P \in m$ 且 $m \subset \beta$，所以 $P \in \text{pl.}\beta$。 由此得出 $P$ 为平面 $\alpha$ 与 $\beta$ 的公共点，矛盾，故假设不成立。因此 $l \parallel m$。 ::: --- $\text{Th9}$：过一点垂直于平面的直线有且仅有一条。 :::info[证明] 向量法证明很简单，几何有点抽象，我也不知道我的证明是否有问题，仅仅作参考。 假设过点 $P$ 可以引出两条不同的直线 $a, b$ 同时垂直于 $\text{pl.}\alpha$。 设 $a \cap \alpha = A$，$b \cap \alpha = B$，连接 $AB$。 在三角形 $PAB$ 中，因为 $a \perp \alpha$ 且 $b \perp \alpha$，所以 $PA \perp AB$ 且 $PB \perp AB$。 这表明 $\triangle PAB$ 中有两个内角为 $90^\circ$，故过一点垂直于平面的直线唯一。 ::: --- $\text{Th10}$：若 $l \perp m,\ l \perp n$，且 $m, n \subset \alpha,\ m \cap n = O$，则 $l \perp \alpha$。（线面垂直判定） :::info[证明] 在直线 $l$ 上取关于平面交点 $O$ 对称的两点 $P$ 和 $P'$。 在 $\text{pl.}\alpha$ 内任作一条过点 $O$ 的直线 $g$，并作一条不通过 $O$ 但与 $m, n, g$ 分别交于 $A, B, C$ 的直线。 所以： $$ PA = P'A, \quad PB = P'B $$ 所以 $\triangle PAB \cong \triangle P'AB$，从而可得 $\angle PAB = \angle P'AB$。 接着，$\triangle PAC \cong \triangle P'AC$，从而可得 $PC = P'C$。 所以 $\triangle POC \cong \triangle P'OC$。 由此可得 $\angle POC = \angle P'OC = 90^\circ$，即 $PO \perp CO$。因为 $g$ 是平面内的任意一条直线，故 $l \perp \alpha$。 ::: --- $\text{Th11}$：若 $l \perp \alpha,\ m \perp \alpha$，则 $l \parallel m$。 :::info[证明] 首先，$l$ 与 $m$ 不可能相交：若 $l$ 与 $m$ 相交，则意味着过同一个点可以引出两条不同的直线同时垂直于 $\text{pl.}\alpha$，这与 $\text{Th9}$ 矛盾。 再证明平行，过直线 $m$ 与平面 $\alpha$ 的交点在空间中作一条直线 $u \parallel l$。 因为 $l \perp \alpha$ 且 $u \parallel l$，由线面垂直的性质易得 $u \perp \alpha$。 此时在同一点上，同时有 $m \perp \alpha$ 且 $u \perp \alpha$。根据 $\text{Th9}$，直线 $m$ 必然与辅助线 $u$ 重合。 因为 $l \parallel u$，所以 $l \parallel m$。 ::: --- ## 课本 向量部分 --- 类比平面向量我们有空间向量 $\vec{v} = (v_0,v_1,v_2)$。 空间向量的点积，夹角等求法与平面向量相同。 :::info[$3$ 向量共面的判定] 一个能被其余两个线性表示。 ::: :::info[空间四点共面] 与二维不同，别用这个，很麻烦，用上面的定理来判定就好了。 ::: 我们称三个线性无关的向量为一个基底。 空间向量基本定理，任意空间向量都能有一组基地线性表示。 法向量是垂直于平面的向量，用 $\vec{n}$ 表示，任意两平面的夹角余弦 $\cos(\vec{n_0}, \vec{n_1})$。 点面距，我们考虑平面上一点 $A$ 和平面外一点 $P$，有 $dis = \overrightarrow{PA} \cdot \vec{n} \cdot |\vec{n}| ^ {-1}$。 其余的和二维没区别。 ## 课本 EXT --- :::info[叉乘] 这个东西高中不能用，但是由于很方便所以讲一下，草稿纸上算好答案填上去即可。 考虑一个平面上存在两个不共线向量 $\vec{x} = (x_0,x_1,x_2),\ \vec{y} = (y_0,y_1,y_2)$，其叉乘为：$\vec{x} \times \vec{y} = (x_1y_2-x_2y_1,\ x_2y_0-x_0y_2,\ x_0y_1-x_1y_0)$，并且其也是此平面的法向量。 这个自己验证一下吧。 这就可以省去考试很多的联立算步骤，先写出 $\vec{x}\cdot \vec{n} = 0$ 和 $\vec{y}\cdot \vec{n} = 0$，直接就能说联立得到其中一个法向量 $\vec{n} = \cdots

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:::info[向量法求空间体积以及面积] 先令 \vec{n} = \vec{a} \times \vec{b} 吧。

看完叉乘的表达式还有另外的收获，这两个向量围成的平行四边形的面积为 S = |\vec{a} \times \vec{b}|。

想到了什么，任意平行六面体的体积为 |\vec{a} \times \vec{b} \cdot \vec{c}|。

同时我们也有 \sqrt{(|\vec{a}||\vec{b}|)^2 - (\vec{a}\cdot \vec{b})^2} 来算平行四边形面积。

这么求高 h = \vec{n} \cdot \vec{c} \cdot|\vec{n}|^{-1}，那么 V = hS。

注意到你完全不需要把 h,S 的值算出来，所以卷子上写一套，草稿纸上写一套。

:::info[点在直线上] 用点和直线的方向向量可以表示出直线上的点坐标。

一般我们把第一项化为 x，那么直线就是 (x,\ k_0x + b_0,\ k_1x + b_1)。

如果 x 分量为 0，那就让其为 0，y,z 使用解析几何的表示方法。

我不推荐其他的表示方式。

:::info[坐标化平面] 一个平面可以表示为 a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0。展开得到常数项 d。

其中 \vec{n} = (a,b,c)。

高中不能直接用，要证明。

简短版：对于平面任意一个点 P，满足 \overrightarrow{HP} \cdot \vec{n} = 0，展开就得到此平面的方程了。

如果你不想坐标化平面，你可以用上面的方法设直线上的点 P，然后用点积解得答案。

选择题点面距 dis = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2)^{-1/2}\cdot|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|。

补充一点快速瞪出方程的方法 x/a + y/b + z/c = 1，其中 a,b,c 分别是坐标轴截距。

:::info[坐标化球] 类比于圆，球的方程是 (x-x_0) ^ 2 + (y-y_0) ^ 2 + (z-z_0) ^ 2 = r ^ 2

如果定球的四个点有 3 个分别在 3 个坐标轴上还有一个是原点，那么方程为 x(x-a) + y(y-b) + z(z-c) = 0。

:::info[二面角] 绝对值符号自己带，我只给思想。线面角和线线角课本讲了。

课本上朴素的向量法是求出 \vec{n_0},\vec{n_1}，然后求 \cos(\vec{n_0}, \vec{n_1})。

但是如果交线显而易见的话，那么可以换个方法，我们取一个垂直于交线，并且在平面 1 内的向量 \vec{h_1}，那么两平面夹角的正弦值就是 \cos(\vec{n_0}, \vec{h_1})。

同样的，在另一个平面内选一个 \vec{h_0}，那么夹角的余弦值就是 \cos(\vec{h_0}, \vec{h_1})。

还有 \cos \theta = \dfrac{S_{\text{射影}}}{S_{\text{原}}}。

哪个方便用哪个。

:::info[双垂线] 我们考虑什么样的向量才能同时垂直于他们，没错，就是平移他们到同一平面后，这个平面的法向量 \vec{n}。

求出法向量之后，表示出两条直线上面的点，做差得到向量，联立方程就行了。

如果不需要求出具体的线，只需要求出模长，那么两直线任取 M,N，就可以投影求出长度了：\overrightarrow{MN} \cdot \vec{n} \cdot |\vec{n}|^{-1}。 :::

练练手吧。