题解 P5147 【随机数生成器】

· · 题解

这题感觉丢到高一数学作业里也没问题吧（

首先我们设那个函数的期望值为 F(n)，那么有：

F(n)=1+\frac1n\sum\limits_{i=1}^nF(i)

移项一下，可以得到

\frac{n-1}{n}F(n)=1+\frac1n\sum\limits_{i=1}^{n-1}F(i) F(n)=\frac{n}{n-1}+\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^{n-1}F(i)

然后这样就可以 \Theta(n) 递推计算了。

有了上面的递推式，再搞一下得出通项
( 这里可以先找规律猜结论，用数学归纳法很好证 )

F(n)=1+\sum\limits_{i=1}^{n-1}\frac1i

后面是调和级数的前 n-1 项和 ( 记为 h(n-1) )，直接算不太好搞，但是有

\frac{\text d\ln x}{\text d x}=\frac1x

所以 \ln n 和 h(n) 同阶。
进一步地，可以得到：

\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}h(n)-\ln n \approx 0.57721566490153286

所以 n 很小的时候直接暴力，否则直接用 \ln (n) 来算。

时间复杂度 \Theta(1) ?

代码很简单： 

#include<cstdio>
#include<cmath>

int n;
double ans;

int main(){
    scanf("%d",&n);
    if(n<100000) for(int i=1;i<n;++i)  ans += 1.0/i;
    else ans = log(n)+0.577215664901532;
    printf("%.5lf",n==1?0:ans+1);
    return 0;
}