浅谈勒贝格积分

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这是第二稿。感谢 @zxh_qwq！

此文参考《正说微积分》合集。

让我们先来看一下一个积分。

\int_{0}^{5} 1 \mathrm{d} x

这不就是一个常函数的积分吗？十分简单啊！看图象，就可以发现就是长 5 宽 1 的矩形啊。所以结果就是 5，显而易见啊。

接下来看几个问题。

  1. 将 \sqrt{2} 去掉，会怎么样？
  2. 将 \sqrt{2}、\sqrt{3}、\pi、e 去掉会怎么样？
  3. 将 [0,5] 所有无理数去掉会怎么样？

一个一个看吧。

问题一

这是一个十分简单的问题。

注意到积分的定义是基于极限的 \varepsilon-\delta 定义的，所以显而易见，去掉 \sqrt{2} 并不会导致结果改变。

问题二

这个不是同理吗？

极限的定义，不难发现结果不变。

问题三

这个不是同……？欸，这成了狄利克雷函数，咋搞啊？

发现这个时候由于有理数很稠密，具体而言：

有理数 a 的邻域 [a,a+\varepsilon) 包含了有理数和无理数。

而无理数 a 也是同理的。

这个时候我们发现这玩意儿在黎曼意义下不可积啊！

于是乎，第二次数学危机正式爆发。

Lebesgue 积分

直到 1902 年，法国数学家勒贝格开始玩狄利克雷函数，到 1904 年，勒贝格积分正式提出，也算解决了第二次数学危机。

这到底是什么这么强大？

首先让我们注意到一点，反函数。

不难发现：

f^{-1}(x)=\begin{cases} 1 & x \notin \mathbb{Q}\\ 0 & x \in \mathbb{Q} \end{cases}

此时，我们就可以得到：

\int_{0}^{5} 1 \mathrm{d}x=\int_{0}^{5} f(x) \mathrm{d} x+\int_{0}^{5} f^{-1}(x)\mathrm{d}x

但是，看到黎曼积分对于面积的定义，他提出了一个问题：

什么是面积？

没错，这正是黎曼积分中极其严重的一个问题。

所以，勒贝格将一维二维三维的物体都拿出来观察，其中边长都为 1 个单位长度。

此时，欸，勒贝格就发现了：

这些对于长度、面积、体积等的定义不都只是赋了一个值吗？

这个时候，勒贝格测度出现了。他重新定义了“面积”。所以，我们就有了 \mu(E) 的测度函数。（其实就是赋值）这个时候，就变成了这个勒贝格测度。

让我们用一种更加容易理解的做法看看吧。

一个大集合 P，分成若干个小集合 P_i，请注意无剩余，此时假设分成 n 个小集合，则：

\mu(P)=\sum_{i=1}^{n} \mu(P_i)

这个测度甚至有一个更加容易理解的。

一个农场，John 有 3 头羊、2 头猪、4 头牛。这个时候，假设我问他们是不是羊，这样数有多少只羊，虽然看上去有点蠢（

问的顺序：猪牛羊羊猪羊牛牛牛。

第一个动物，我：“你是不是羊？”，它说：“不是。”

第二个动物，我：“你是不是羊？”，它说：“不是。”

第三个动物，我：“你是不是羊？”，它说：“是。”则 +1，现在统计到 1 头羊。

第四个动物，我：“你是不是羊？”，它说：“是。”则 +1，现在统计到 2 头羊。

第五个动物，我：“你是不是羊？”，它说：“不是。”

第六个动物，我：“你是不是羊？”，它说：“是。”则 +1，现在统计到 3 头羊。

第七个动物，我：“你是不是羊？”，它说：“不是。”

第八个动物，我：“你是不是羊？”，它说：“不是。”

第九个动物，我：“你是不是羊？”，它说：“不是。”

OK，统计完毕，发现有 3 头羊。然而，这并不是什么游戏，这就是勒贝格积分的统计方法，应该很好理解了吧（

行了，其实这玩意儿就是指令函数。判断每一只动物是不是羊，如果是，则 +1，否则不变。但是我好像没有说指令函数是什么（

具体而言，对于一个数 x，我们定义 1_A(x) 表示 x 是否在集合 A 中。即：

1_A(x)=\begin{cases} 1 & x \in A\\ 0 & x \notin A\\ \end{cases}

很优秀的一个定义欸！

接下来，我们回归正题。勒贝格积分最后究竟是怎么样的？

通常，勒贝格积分是划分值域。但是请注意不是不划分定义域，只是修改了面积的定义和面积的划分。

其我们通常将 f 的值域若干小区间。例如，y_0<y_1<\cdots<y_n，将值域划分为 [y_{k_1},y_k)。

它定义了一个水平集的概念，对于每个小区间 [y_{k-1},y_k)，考虑使得 f(x) 落在这个区间中的集合 E_k=f^{-1}([y_{k-1},y_k))。对于每个 E_k 的勒贝格测度 \mu(E_k)，近似求和。

\sum_{k=1}^{n} y_{k-1} \cdot \mu(E_k)

当足够细的时候（就是每个区间长度趋近于 0）的时候，就成为勒贝格积分。

看到狄利克雷函数，发现不再困难。因为我们已经有了勒贝格积分的基础了。

注意到 D(x) \in \{0,1\}，值域分割起来显得更为简单。注意到有理数集 \mathbb{Q} 是可数集（也叫可列集），它的勒贝格测度为 0。（因为单点测度为 0，可数集为单点测度的和），剩下的就简单了。

综上：

\int_{0}^{5} D(x) \mathrm{d}\mu=1 \cdot \mu(E_1)+0 \cdot \mu(E_0)=0

结束。

结语

勒贝格积分不仅是黎曼积分的扩展，更是对数分的一个重大改革。它通过测度论将积分从几何直观中抽象出来，为现代数学（如泛函分析、概率论）奠定了坚实基础。正如勒贝格所言：“黎曼积分是竖着切蛋糕，而勒贝格积分是横着切。”这种思想的转变，让数学家在更广阔的世界，让微积分的定义更加严谨，且不再过于抽象。