题解 P1082 【同余方程】

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2020-02-27 更新

一步一步来。

问题转化

题目问的是满足 ax \mod b = 1 的最小正整数 x。（a,b是正整数）

但是不能暴力枚举 x，会超时。

把问题转化一下。观察 ax \mod b = 1，它的实质是 ax + by = 1：这里 y 是我们新引入的某个整数，并且似乎是个负数才对。这样表示是为了用扩展欧几里得算法。我们将要努力求出一组 x,y 来满足这个等式。稍微再等一下——

问题还需要转化。扩展欧几里得是用来求 ax + by = gcd(a,b) 中的未知数的，怎么牵扯到等于 1 呢？

原理是，方程 ax + by = m 有解的必要条件是 m \mod gcd(a,b) = 0 。

这个简单证一下。

由最大公因数的定义，可知 a 是 gcd(a,b) 的倍数，且 b 是 gcd(a,b) 的倍数，

若 x,y 都是整数，就确定了 ax + by 是 gcd(a,b) 的倍数，

因为 m = ax + by，所以 m 必须是 gcd(a,b) 的倍数，

那么 m \mod gcd(a,b) = 0。

可得出在这道题中，方程 ax + by = 1 的有解的必要条件是 1 \mod gcd(a,b) = 0。可怜的 gcd(a,b) 只能等于 1 了。这实际上就是 a,b 互质。

扩展欧几里得

前提：知道普通欧几里得算法（辗转相除法）。

下面字母挺多，希望你耐心地慢慢地读~

我们拿到了一组 a,b。设 G = gcd(a, b)。那么目标是求出满足 ax + by = G（①） 的整数 x 与 y。其中 x 应当是满足条件的最小正整数，即答案，而 y 是辅助答案。

（注意，虽然刚刚已经证明本题的 gcd(a,b) 必然等于 1，但是扩展欧几里得算法本身过程求的是 ax + by = gcd(a,b) 的解。它正好非常适合本题，不过我们要按照它求解的过程去做）

如果我们先前已经求出了另一组数 x_2, y_2，它们满足这么一个式子：bx_2 + (a \mod b)y_2 = G（②），则此时结合①②一定有：

可见，在这个“**如果**”实现的时候，我们的目标变成了“求出满足上式的 $x$ 和 $y$”。 其中 $a,b,x_2,y_2$ 都已知，$x,y$ 待求。因为未知数比方程更多，所以没有唯一解。我们先求出一组必然存在的解，**最后将在“答案处理”时转为最小解。** 怎么求呢？取模运算是 $a \mod b = a - b×(a/b)$，所以方程③实际上是： $ax + by = bx_2 + (a-b×(a/b))y_2 \Rightarrow ax + by = bx_2 + ay_2 - b × (a/b)y_2 \Rightarrow ax + by = ay_2 + b(x_2-(a/b)y_2)

看上面这个方程，一组必然存在的解出现了：

可见，我们只要求出 $x_2,y_2$，就能得出正确的 $x,y$。问题是 $x_2,y_2$ 怎么求。 现在我们手上是 $b,a \mod b$ 这两个系数，而目标是求出 $x_2$ 和 $y_2$ 满足： $bx_2 + (a \mod b)y_2 = G$（②） 把①和②对比一下： $ax + by = G$ （①） 原方程中的系数 $a$ 变成了②中的系数 $b$，原方程中的系数 $b$ 变成了②中的 $a \mod b$ 而已。 所以，把新的方程也看作 $ax + by = G$ 的形式（只是系数 $a$ 和 $b$ 的具体数值改变了）。然后按照上面的一模一样下来（其实都只是推导过程），我们发现，最好有 $x_3,y_3$ 来支撑 $x_2, y_2$。 再一模一样下来，我们又需要 $x_4,y_4$ 来支撑 $x_3, y_3$。 …… 这个递归中 $a, b$ 不断被替代为 $b, a \mod b$，**这个替换方式与普通欧几里得是一样的，所以最后会出现 $a_n = G, b_n = 0$**。 这时要直接返回了，我们需要一组 $x_n,y_n$ 满足 $a_nx_n + b_ny_n = G$（⑤）。 然而该层的 $a_n = G, b_n = 0$。所以只要⑤左边取 $x_n = 1$，这个方程就妥妥的成立了。 （最后一层的 $y_n$ 建议取 $0$。然而由于 $b = 0$，就算返回其它数值，方程也一定成立。但这样的程序容易出错，因为 $y_n$ 在回溯时滚雪球式增长，容易数值越界。下面的代码在最后一层令 $y = 7$，开了long long，通过了此题。） 最后一层结束后，就开始返回，直到最上层。每一层可以轻松地根据下层的 $x_{k+1},y_{k+1}$ 求出当前层的 $x_k, y_k$。 *整个过程就是：以辗转相除的方式向下递进，不断缩小系数，保证会出现有确定解的最后一层。* ## 答案处理 一个遗留问题：我们将要求出来的 $x,y$ 仅仅保证满足 $ax + by = 1$，而 $x$ 不一定是最小正整数解。有可能太大，也有可能是负数。这依然可以解决，那就是，$x$ 批量地减去或加上 $b$，能保证 $ax + by = 1$，因为： $ax + by = 1 ax + by + k×ba - k×ba = 1 a(x+kb) + (y-ka)b = 1

1.显然这并不会把方程中任何整数变成非整数。

2.“加上或减去 b”不会使 x 错过任何解。可以这么理解：

已经求出一组整数 x,y 使得 ax + by = 1，也就是 \frac{1-ax}{b} = y。y 是整数，可见目前 1-ax 是 b 的倍数。

现在想改变 x 并使得方程仍然成立。已知 a,b 互质，假若 x 的变化量（\Delta x）不是 b 的倍数，则 1-ax 的变化量（-a×\Delta x）也不是 b 的倍数，这会使得 1-ax 不再是 b 的倍数，则 y 不是整数了。

仅当 x 的变化量是 b 的倍数时，1-ax 能保持自己是 b 的倍数，此时就出现新的解了。

因此到最后，如果 x 太小就不断加 b 直到大于等于 0，太大则一直减 b，直到最小正整数解。也就是这么写：

    x = (x % b + b) % b;//括号中取模再加，可以处理负数

代码

推导中的所有 x,y 共用全局变量 long long x, y，传递也很方便。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

long long x, y;//目前方程真正的解 

void exgcd(long long a, long long b)
{
    //当前目的：求解 ax + by = gcd(a, b) 这么一个方程

    if(b == 0) //a, b不断改变的过程中，b最终必然会成为0
    {
        //在 b = 0 时方程还要成立？ 使 x = 1, y = 0 ，必然成立 
        x = 1;
        y = 7; //建议返回0。不过y = 7能AC，证明了最后一个等式不受最后一个y影响
        return;
    } 

    exgcd(b, a % b);//把下一层系数传进去（先求下一个方程的解 ）

    //现在我们已经拿到了下一个方程的解x, y
    long long tx = x;//暂时存一下x，别丢了
    x = y;
    y = tx - a / b * y; 
}

int main()
{
    long long a, b;
    cin >> a >> b;
    exgcd(a, b);

    x = (x % b + b) % b;//我们求出来的x必然满足方程，但不一定是最小正整数解，所以要进行答案处理
    printf("%lld\n", x);
    return 0;
}

求这样一个满足 ax \mod b = 1 的 x 有什么用呢？一个重要用途如下。

这个 x 就是：a 在模 b 意义下的乘法逆元。

在模 b 意义下，如果想要除以 a 就非常麻烦。这时候乘以 a 的逆元等效于除以 a。

假设我们已经算出了：

ans = (a * b * c) % p;

现在要从 ans 中把 b 给除掉，如何处理 ans？

如果像下面这样直接除会出错（举个实例会很直观）：

ans = ans / b % p;

所以我们就求出 b 的逆元 x（满足 bx \mod p = 1），然后直接算这个：

ans = ans * x % p;

原理可以这么理解：

abcx \equiv ac(bx) \equiv ac \pmod p

更新记录：

2020-02-01 证明略有改动；加入了逆元一种作用的说明。

2020-02-03 加点补充说明减少误解。

2020-02-27 语句修改。