和角公式证明

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从上一篇文章 https://www.luogu.com.cn/article/a0rd1bxx 的线性代数大学习中，我们知道旋转可以视为乘以一个矩阵。

那么，记 R_\theta 是旋转 \theta 对应的矩阵。

设旋转 \alpha 的变换 f_\alpha (P) = R_\alpha P，以及相应的旋转 \beta 角的变换 f_\beta (P) = R_\beta P。

显然有旋转 \alpha + \beta 角等于先转 \alpha 再转 \beta，也就是说 f_{\alpha+\beta}(P) = f_\alpha(f_\beta(P)) 恒成立。那么，代入函数的定义：

R_{\alpha+\beta}P = R_\alpha (R_\beta P)

用结合律，就有

R_{\alpha+\beta}P = (R_\alpha R_\beta) P

既然对任意向量两个矩阵的变换结果相同，那么它们肯定是相同的。有

R_{\alpha+\beta} = R_\alpha R_\beta

这样，由于我们知道 R_{\alpha+\beta} 中包含 \sin (\alpha+\beta) 和 \cos (\alpha+\beta) 项，我们就可以用矩阵乘法算出来 R_{\alpha+\beta}，然后从中取出相应的项。

计算过程如下：

R_{\alpha+\beta} = R_\alpha R_\beta = \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\beta & -\sin\beta \\ \sin\beta & \cos\beta \end{pmatrix}

根据矩阵乘法法则（第一行乘以第一列，第一行乘以第二列……）：

R_\alpha R_\beta = \begin{pmatrix} \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta & -\cos\alpha\sin\beta - \sin\alpha\cos\beta \\ \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta & -\sin\alpha\sin\beta + \cos\alpha\cos\beta \end{pmatrix}

整理一下：

R_\alpha R_\beta = \begin{pmatrix} \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta & -(\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta) \\ \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta & \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta \end{pmatrix}

因为 R_{\alpha+\beta} = R_\alpha R_\beta，所以两个矩阵的对应元素必须相等。我们来比较一下左上角和左下角的元素：

发现了吗？这样得到的结果与和角公式是相同的，于是我们就证明了和角公式。

笑点解析：本文使用了循环论证的手法。

当然，本文也可以不仅仅是循环论证。我们考虑用比和角公式更基本的方法找出旋转矩阵，这样我们的证明就是成立的了。

这是最纯粹的几何方法。我们不预设任何三角函数知识，而是从旋转这个变换本身的性质出发。

  1. 定义旋转：我们定义一个逆时针旋转 \theta 角的变换 R_\theta 是一个线性变换，它必须满足以下几个几何性质：

    • 保长度：旋转一个向量，其长度不变。||R_\theta \mathbf{v}|| = ||\mathbf{v}||.
    • 保定向：旋转不会把平面“翻转”过来（比如变成镜像）。在线性代数里，这意味着变换矩阵的行列式为 +1。
    • 变换基向量：我们来看看它如何作用于基向量 \mathbf{i} = (1, 0) 和 \mathbf{j} = (0, 1)。
      • 将 \mathbf{i}=(1,0) 旋转 \theta 角，根据单位圆的定义，得到的新向量就是 (\cos\theta, \sin\theta)。注意：这里的 \cos\theta 和 \sin\theta 仅仅是单位圆上一个点的坐标的记号，我们暂时不知道它们的任何性质（比如和角公式）。
      • 将 \mathbf{j}=(0,1) 旋转 \theta 角，得到的新向量是 (-\sin\theta, \cos\theta)。

  2. 构造矩阵：线性变换的矩阵，其第一列就是变换后的 \mathbf{i}，第二列就是变换后的 \mathbf{j}。所以，我们直接得到了旋转矩阵：

    R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}

    这个矩阵的推导过程完全没有使用和角公式。它仅仅是基于“旋转”这个变换作用在基向量上的几何结果。

这说明了，旋转的几何性质和代数性质是相同的。我们可以选择几何方法或者代数方法定义它，然后推导出它的全部性质，不会有什么差别。

然而，你可以发现，我们的文章仍然存在诸多漏洞。

我们假设了旋转是一种线性变换。这是一个先验知识，其实问题不大，毕竟我们总是需要一些公理。

然而，在使用了这个先验知识之后，我们又诉诸了几何直觉：两个基向量旋转的结果，与“单位圆上与原点连线和 x 轴成一定夹角的点的坐标”有关，这本质上已经诉诸了几何直觉，这就要求我们证明几何直觉和“线性变换”之间是自洽的。

更严重的是，我们假设“旋转 a+b，等价于旋转 a 再旋转 b”，对于一般的线性变换，这是不成立的（“旋转 a+b”对于一般的线性变换根本不知道你在说什么）。而这一条里面很可能已经蕴含了和角公式。

能不能救呢？可以的。

疑虑一：几何直觉与“线性变换”公理的自洽性

线性变换的定义是：T(a\mathbf{u} + b\mathbf{v}) = aT(\mathbf{u}) + bT(\mathbf{v})。 我们可以把它拆成两步来验证我们对“旋转”的几何直觉：

  1. T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})（可加性）
    • 几何直觉：向量加法 \mathbf{u} + \mathbf{v} 遵循平行四边形法则。\mathbf{u} 和 \mathbf{v} 是平行四边形的两条边，\mathbf{u} + \mathbf{v} 是对角线。
    • 旋转操作：旋转是一种刚体变换。它会移动和旋转图形，但不会改变图形的形状和大小。
    • 自洽性证明：当我们旋转整个平行四边形时，它仍然是一个平行四边形。原来的边 \mathbf{u} 和 \mathbf{v} 变成了旋转后的 R(\mathbf{u}) 和 R(\mathbf{v})。原来的对角线 \mathbf{u}+\mathbf{v} 变成了旋转后的 R(\mathbf{u}+\mathbf{v})。由于旋转后的图形依然是平行四边形，所以它的对角线必然等于两条边的和，即 R(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = R(\mathbf{u}) + R(\mathbf{v})。
    • 结论：可加性成立。

这本质上是三角形全等。

  1. T(c\mathbf{u}) = cT(\mathbf{u})（齐次性）
    • 几何直觉：向量 c\mathbf{u} 是将向量 \mathbf{u} 的长度缩放 c 倍（方向可能相反）。
    • 旋转操作：旋转保持长度不变。
    • 自洽性证明：旋转 c\mathbf{u} 时，它的方向会改变，但长度仍然是 \mathbf{u} 的 c 倍。这与先旋转 \mathbf{u} 得到 R(\mathbf{u})，再将其长度缩放 c 倍得到的结果 cR(\mathbf{u}) 是完全一样的。
    • 结论：齐次性成立。

这和相似则是类似的。

通过这个论证，我们证明了我们脑海中那个直观的、刚性的“旋转”概念，内生地满足线性变换的代数定义。所以，将“旋转是线性变换”作为起点是合理且自洽的。

疑虑二：“旋转 \alpha+\beta = 先转 \alpha 再转 \beta” 这一条里面很可能已经蕴含了和角公式

这是更致命、也更深刻的一个问题。

这个性质 R_{\alpha+\beta} = R_\alpha R_\beta 实际上是在描述旋转变换构成了一个阿贝尔群（交换群），并且这个群的结构与实数的加法群是同构的。这确实是一个非常强的性质。

那么，这个性质本身是否依赖于和角公式呢？

答案是：不依赖，如果我们小心地定义我们的术语。

这里的关键在于我们如何定义“角度”和“角度的加法”。

  1. 操作主义定义：让我们把旋转操作本身视为最基本的东西。
    • 有一个操作叫“旋转”，它由一个参数（我们称之为“角度”）来标识，记作 R_\theta。
    • 我们观察到，连续进行两次旋转操作 R_\beta 和 R_\alpha（即复合函数 R_\alpha \circ R_\beta），其结果也是一个旋转操作。
    • 我们定义“角度的加法”为：如果 R_\alpha \circ R_\beta 的结果是 R_\gamma，那么我们就定义 \gamma = \alpha + \beta。

看到这里的精妙之处了吗？我们不是先有了角度的加法，然后去证明旋转复合满足这个关系。我们是反过来，用旋转的复合操作来定义角度应该如何相加。

在这种视角下，等式 R_{\alpha+\beta} = R_\alpha R_\beta（这里矩阵乘法代表函数复合）就不是一个需要证明的定理，而是一个定义式，它定义了下标“+”的含义。

所以，我们的证明可以被拯救，并变得更加严谨：

严谨化后的证明逻辑链

  1. 公理1（几何）：我们接受一个几何实体叫“旋转”，它是一种刚体运动，保持原点不动。
  2. 定理1（线性）：从公理1，我们证明了旋转是一种线性变换（如上文所述）。
  3. 推论1（矩阵）：因为旋转是线性变换，所以它可以表示为一个矩阵。通过考察基向量的变换，我们得到 R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}。在这里，\cos\theta 和 \sin\theta 仅仅是单位圆上点的坐标的记号，我们对它们的函数性质一无所知。
  4. 公理2（群结构）：旋转的集合在函数复合下构成一个群。任意两个旋转的复合仍然是一个旋转。
  5. 定义1（角度加法）：我们定义角度的加法 \alpha+\beta 是这样一个角度 \gamma，它使得 R_\gamma = R_\alpha \circ R_\beta。因此，关系式 R_{\alpha+\beta} = R_\alpha R_\beta 成为我们体系内的真理（根据定义）。
  6. 最终推导：现在，我们将来自推论1的矩阵形式代入到来自定义1的关系式中： \begin{pmatrix} \cos(\alpha+\beta) & \dots \\ \sin(\alpha+\beta) & \dots \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\alpha & \dots \\ \sin\alpha & \dots \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\beta & \dots \\ \sin\beta & \dots \end{pmatrix}
  7. 结论：通过计算右侧的矩阵乘积，我们就发现了 \cos(\alpha+\beta) 和 \sin(\alpha+\beta) 必须满足的代数恒等式。这些恒等式就是我们所说的“和角公式”。

致谢 && 声明：感谢 Gemini 对本文做出的贡献。Gemini 提供了避免循环论证的思路。