题解 P4827 【[国家集训队] Crash 的文明世界】

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传送门

思路

又见到这个k次方啦！按照套路，我们将它搞成斯特林数：

ans_x=\sum_{i=0}^k i!S(k,i)\sum_y {dis(x,y) \choose i}

前面可以枚举，考虑后面那东西怎么求。

我们不知道为什么但就是考虑DP：设：

dn_{x,t}=\sum_{y\in x} {dis(x,y) \choose t} up_{x,t}=\sum_{y\notin x} {dis(x,y) \choose t}

其中y\in x表示y在x的子树内。

显然dn比较好求，我们先搞dn。

dn_{x,t}=\sum_{y\in x} {dis(x,y) \choose t} =[t=0]+\sum_v \sum_{y\in v} {dis(v,y)+1 \choose t} =[t=0]+\sum_v \sum_{y\in v} \left( {dis(v,y) \choose t} + {dis(v,y) \choose t-1} \right) =[t=0]+\sum_v (dp_{v,t} + dp_{v,t-1})

接下来是up。

up_{x,t}=\sum_{y\notin x} {dis(x,y) \choose t} =\sum_{y\notin fa} {dis(fa,y)+1\choose t} +\sum_{y\in fa} {dis(fa,y)+1\choose t}-\sum_{y\in x} {dis(x,y)+2\choose t} =up_{fa,t}+up_{fa,t-1}+dn_{fa,t}+dn_{fa,t-1}-dn_{x,t}-2dn_{x,t-1}-dn_{x,t-2}

特判一下up_{1,t}=0即可。

至此，问题结束。

复杂度O(nk)。

代码

推了那么长的式子，代码其实超短。

#include<bits/stdc++.h>
namespace my_std{
    using namespace std;
    #define pii pair<int,int>
    #define fir first
    #define sec second
    #define MP make_pair
    #define rep(i,x,y) for (int i=(x);i<=(y);i++)
    #define drep(i,x,y) for (int i=(x);i>=(y);i--)
    #define go(x) for (int i=head[x];i;i=edge[i].nxt)
    #define sz 50505
    #define mod 10007
    typedef long long ll;
    typedef double db;
    mt19937 rng(chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());
    template<typename T>inline T rnd(T l,T r) {return uniform_int_distribution<T>(l,r)(rng);}
    template<typename T>inline void read(T& t)
    {
        t=0;char f=0,ch=getchar();double d=0.1;
        while(ch>'9'||ch<'0') f|=(ch=='-'),ch=getchar();
        while(ch<='9'&&ch>='0') t=t*10+ch-48,ch=getchar();
        if(ch=='.'){ch=getchar();while(ch<='9'&&ch>='0') t+=d*(ch^48),d*=0.1,ch=getchar();}
        t=(f?-t:t);
    }
    template<typename T,typename... Args>inline void read(T& t,Args&... args){read(t); read(args...);}
    void file()
    {
        #ifndef ONLINE_JUDGE
        freopen("a.txt","r",stdin);
        #endif
    }
    #ifdef mod
    ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x%mod) if (y&1) ret=ret*x%mod;return ret;}
    ll inv(ll x){return ksm(x,mod-2);}
    #else
    ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x) if (y&1) ret=ret*x;return ret;}
    #endif
//  inline ll mul(ll a,ll b){ll d=(ll)(a*(double)b/mod+0.5);ll ret=a*b-d*mod;if (ret<0) ret+=mod;return ret;}
}
using namespace my_std;

int n,K;
struct hh{int t,nxt;}edge[sz<<1];
int head[sz],ecnt;
void make_edge(int f,int t)
{
    edge[++ecnt]=(hh){t,head[f]};
    head[f]=ecnt;
    edge[++ecnt]=(hh){f,head[t]};
    head[t]=ecnt;
}

ll up[sz][233],dn[sz][233];
#define v edge[i].t
void dfs1(int x,int fa)
{
    dn[x][0]=1;
    go(x) if (v!=fa)
    {
        dfs1(v,x);
        (dn[x][0]+=dn[v][0])%=mod;
        rep(j,1,K) (dn[x][j]+=dn[v][j]+dn[v][j-1])%=mod;
    }
}
void dfs2(int x,int fa)
{
    if (x!=1)
    {
        up[x][0]=(up[fa][0]+dn[fa][0]-dn[x][0]+mod)%mod;
        up[x][1]=(up[fa][1]+up[fa][0]+dn[fa][1]+dn[fa][0]-dn[x][1]-2*dn[x][0]+mod*3)%mod;
        rep(i,2,K) up[x][i]=(up[fa][i]+up[fa][i-1]+dn[fa][i]+dn[fa][i-1]-dn[x][i]-2*dn[x][i-1]-dn[x][i-2]+mod*4)%mod;
    }
    go(x) if (v!=fa) dfs2(v,x);
}
#undef v

ll S[233][233];
ll fac[233];

int main()
{
    file();
    int x,y;
    read(n,K);
    rep(i,1,n-1) read(x,y),make_edge(x,y);
    dfs1(1,0);dfs2(1,0);
    fac[0]=1;rep(i,1,K) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    S[0][0]=1;
    rep(i,1,K)
        rep(j,1,K)
            S[i][j]=(S[i-1][j-1]+1ll*j*S[i-1][j]%mod)%mod;
    rep(i,1,n)
    {
        ll ans=0;
        rep(j,0,K) ans=(ans+fac[j]*S[K][j]%mod*(up[i][j]+dn[i][j])%mod)%mod;
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}