题解：P10576 [蓝桥杯 2024 国 A] 儿童节快乐

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闲话

本蒟蒻在这里祝福每一个 OIer 儿童节快乐。

你是一名菜的要死的 OIer。在 CSP-S 中以第一题爆炸而惨遭失败，教练讲的越来越难，文化课也越来越难，再一次期中考爆炸后，你晕厥过去，醒来时发现在小学的一个机房里，是 6 月 1 日，你意识到你已经很久没有过过六一儿童节了，你想出去，却发现突然进来了一堆小学生，老师看见你，并让你来讲这道题，将对了有奖品，你一眼看了过去

求出所有满足以下条件的整数 n 的总和：

你先打了一个完全不合理的暴力,发现根本没有边界。

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
long long ans=0;
int main(){
    for(long long i = 10120300501 ; i <= ??? ; i++){
        long long sum1=sqrt(i+10120300500),sum2=sqrt(i-10120300500);
        if(sum1*sum1==i+10120300500&&sum2*sum2==i-10120300500){
            ans+=i;
        }
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}

你意识到了这样是没有用的，给你一天都不可能算得出来，于是你开始冷静分析问题：你想起了平方差公式：(x + y)(x - y) = x^2 - y^2 发现与题目所给的异常的吻合：

你将 a 设为了 \sqrt{n + 10120300500}

b$ 设为了 $\sqrt{n - 10120300500}

你带入了公式 a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) = 20240601000 发现有边界了，可以枚举了，只要枚举 (a-b) 就可以了，你迅速的写完了代码。

for(int_128 i = 1 ; i <= 20240601000 ; i++){
  if(满足公式){
    ans+=i;
  }
}
cout<<ans;

你写完了这道题，得到了唯一的六一礼物，突然晕了过去，醒来时只有旁边沾满泪水的试卷，上面全是平方差。