P9751 [CSP-J 2023] 旅游巴士

· · 题解

题意：

给出一个有向图，当前在 1 号点，初始在时间 0，必须在 k 的倍数的时间出发，且到终点的时间也必须是 k 的倍数。

每条边有一个边权 w_i，只有在当前时间 \ge w_i 时才可以通过，且不能在原地不动，即每一个时间点必须走一条边。

问从 1 号点出发到 n 号时最早的时刻。（没有方案则输出 -1）

思路：

因为 k \le 100 很小，所以我们可以从 k 入手。

注意到，如果我当前到达了 u 号点，且当前时间为 p，这条边边权为 w，如果 p < w，那么显然当前不能通过。

但是因为如果当前可以走到这个点，那么可以晚一些 k 的倍数的时间出发，依然可以走到这个点，则我们可以在入口处等待一些时间，使得可以通过这条边，等待时间为 \lceil \frac{w-p}{k} \rceil \times k，即等待 \lceil \frac{w-p}{k} \rceil 个 k 的倍数，这样就可以通过这条边了，耗费时间为 \lceil \frac{w-p}{k} \rceil \times k+p。

现在通过每条边的时间更出发点为 k 的倍数有关系，则我们可以建立以下状态：定义 dis_{i,j} 为到达 i 号点的时间 \bmod k 的值为 j 时的最短消耗时间。

那么答案显然是 dis_{n,0}。

然后看一下转移，如果 p \ge w 了，那么可以直接通过，则 dis_{v,(p+1) \bmod k} \to \min(dis_{v,(p+1) \bmod k},p+1)。

否则的话，令 t=\lceil \frac{w-p}{k} \rceil \times k+p，即我们在入口处等待一些时间，使得可以走到这条边，转移为 dis_{v,(t+1) \bmod k} \to \min(dis_{v,(t+1) \bmod k},t+1)。

可以运用 dijkstra 算法的思想来进行转移，每次去堆顶选取耗时最短的那个点，然后逐层松弛。

时间复杂度为：O(n \times k \log n)。

完整代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll N=10010,M=105;
inline ll read(){
    ll x=0,f=1;
    char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){
        if(c=='-')
          f=-1;
        c=getchar();
    }
    while(c>='0'&&c<='9'){
        x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
        c=getchar();
    }
    return x*f;
}
inline void write(ll x){
    if(x<0){
        putchar('-');
        x=-x;
    }
    if(x>9)
      write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
ll n,m,k;
ll dis[N][M];
bool f[N][M];
vector<pair<ll,ll>> E[N];
priority_queue<pair<ll,ll>,vector<pair<ll,ll>>,greater<pair<ll,ll>>> q;
void add(ll u,ll v,ll w){
    E[u].push_back({v,w});
}
void dijkstra(ll s){
    dis[s][0]=0;
    q.push({0,s});
    while(!q.empty()){
        ll u=q.top().second,p=q.top().first;
        q.pop();
        if(f[u][p%k])
          continue;
        f[u][p%k]=1;
        for(auto d:E[u]){
            ll v=d.first,w=d.second,t=(p+1)%k;
            if(p>=w)
              t=p;
            else
              t=((w-p+k-1)/k)*k+p;
            if(dis[v][(t+1)%k]>t+1){
                dis[v][(t+1)%k]=t+1;
                q.push({t+1,v});
            }
        }
    }
}
int main(){
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    n=read(),m=read(),k=read();
    for(int u,v,w,i=0;i<m;i++){
        u=read(),v=read(),w=read();
        add(u,v,w);
    }
    dijkstra(1);
    if(!f[n][0])
      puts("-1");
    else
      write(dis[n][0]);
    return 0;
}