JueFanBlogs 索引（知识篇）

一只绝帆 · 2026-07-28 14:39:35 · 算法·理论

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前言：笔者退役后，打算整理自己 \rm OI 学习生涯的笔记并公开分享，综合考虑笔记数量和未来发展等因素后，最终搭了一个 Blog 用于存放它们。

截至本文发布，笔者仅整理完【知识篇】的 108 篇笔记，以下是其索引：

仿照 cmd 博客的形式，为了便于读者挑选文章，下面有几种标记 ：

评价比较主观，是我个人的推荐阅读优先级，有的篇目虽然是 \color{red}\large\circledcirc 也是比较建议阅读的。

搭建这个 blog 的目的是帮助更多自学者对 \rm OI 的内容有更深的理解，不欢迎在未告知的前提下将本 blog 的内容进行商业利用的行为，在这里保留追究的权利。

我的 blog 中绝大多数质量较高的内容都是提高至省选难度，这个难度区间正好也是大量选手不得不脱离教师开始自学的时候，我想一点点探索出珍奇的瑰宝也是 \rm OI 的魅力所在吧。

博客中有 搜索 功能，如果你想要查找某类具体知识点可以直接搜看看哪些文章里有，如果没什么目的那可以想学点啥对着推荐顺序看下去。

当然如果你想要看看下面不推荐的文章也很欢迎，感觉只要出现在这里的文章，都还是有一点点价值的。

有些题目来源是 LCA Project / NFLS / MXOJ 如果你很感兴趣可以搜搜原题，部分题目其实是懒得贴原题了。

我的文章本来是有比较杂乱的结构的，在整理的过程中我保留了原结构名（用下划线的形式），所以文件名会看着比较乱，等有机会再优化吧。

\mathscr Part\ \rm A\quad\large\textbf{知识}

学习 \rm OI 时我养成了疯狂记笔记的习惯，其中知识的记录大多数是我学习一个知识点的过程，少数是我的归纳整理。

在写作时，我总是幻想着我在耐心地讲解，至于讲解对象是谁，我或许也不知道，这种思维最终让我写出的文字较为详实，学习的过程也多了些动力。

网上有数不胜数的各种知识的 blog，我的行为是不是在重复造轮子呢？我觉得，选择一个人的 blog 去学，实质上是选择了他写作时的思维方式，如果你看我的文字比看平均水平舒服一点，那或许你可以在我有所记录的知识点中收获还不错的成果。

短随笔

• tricks \color{red}\large\circledcirc

  一些短的技巧收录于此，内容较为简略。

博弈

我对博弈的印象还挺深的，这部分题目总是不太容易直观想象，但最后的结论令人惊讶地简洁与强大。

正式比赛中，似乎博弈总是会似有似无地插上一脚，印象比较深的是过河卒和最长待机。

• NFLS 博弈杂记_杂项 \color{blue}\large\circledcirc

  记录了 \rm Nim 游戏、\rm SG 定理、巴什博弈、阶梯博弈、反 \rm Nim 游戏、\rm Every-SG​，以及五道例题，是不错的博弈入门文章。

• 打表：威佐夫博弈与 k 倍动态减法_随笔 \color{blue}\large\circledcirc

  介绍了如何用“打表”推导威佐夫博弈和 k 倍动态减法，其中的思想值得一看。

• SG函数_杂项 \color{red}\large\circledcirc

  记录了 \rm SG 函数、阶梯博弈的推导过程和五道例题，内容简略一点。

• 博弈模型_算法 \color{red}\large\circledcirc

  额外介绍了 二分图博弈/无向图地理游戏，其中的 Nim 部分挪出去了。

动态规划

之前总是学不会 \rm DP，为此付出了超多精力，回头看来 \rm DP 的体系还挺完备的。

只可惜我的笔记是我学习的过程，很多不在我理解边界的部分没有文章，所以寥寥文章撑不起一个大体系。

• 从带权二分到闵可夫斯基和与凸生成函数_成型笔记 \color{blue}\large\circledcirc\color{blue}\large\circledcirc
  我的第一篇很成体系的成型笔记，内容很适合作为闵可夫斯基和的入门。

  语言生涩了一点，但很真诚。

• 决策单调性_成型笔记 \color{blue}\large\circledcirc
  记录了我从头开始学习决策单调性的过程，其中用了一些直观但不对的理解方法，内容还是很精彩的。

  涉及决策单调性的离线做法、半在线做法、以及很多扩展。

• 期望 dp 的转移_杂项 \color{red}\large\circledcirc
  讨论了“期望 \rm DP 正着转移还是倒着转移”，并讨论了字符串匹配与随机游走结合的两道例题，或许涉及了经典 trick。

• 轮廓线 dp_杂项 \color{red}\large\circledcirc
  记录了三道例题，涉及了普通轮廓线 \rm DP 的写法以及“三进制”轮廓线 \rm DP。

• 数位 dp 进阶（数位自动机）_杂项 \color{red}\large\circledcirc
  只记录了一道题，不过揭示了数位 \rm DP 与多组询问结合的结构，期待读者能在此篇基础上探索出更优秀的成果。

• dp方法——状态机的判定_专题_LCA \color{red}\large\circledcirc

  这是含状态机（自动机）\rm DP 的总结，里面记录了五道题目。

• dp优化——lca_专题_LCA \color{red}\large\circledcirc

  记录了三道题目，涉及三种不同的 dp 优化。

• 一类dp优化——统计答案优化_杂项 \color{red}\large\circledcirc

  只记录了一道例题，用以叙述一类优化方案，应该属于某种贡献前置。

• 地狱数位dp：圆滚滚的算术占卜_根 \color{purple}\large\circleddash

  是一篇没写完的题解阅读报告，只解决到 L=R 的部分，读者如挑战本题可以在此篇基础上进行。

• 如何把五方优化到线性？_杂项 \color{purple}\large\circleddash

  这是我在 NFLS 期间写的一道题目的题解，里面记录了这道题以及优化的过程，公式风格比较毒瘤，但如果对 \rm DP 状态优化比较生疏，也是值得一看的。

• 同余最短路_杂项 \color{purple}\large\circleddash

  记录了两道例题，不是很完整。

贪心

贪心似乎到了后期就作为一种思想融进难题中了，在最优化题目中我们关注的“本质”当然就是剔除不优元素留下优秀元素，而这个过程在初学时就是所谓的贪心。

只不过，比起初学时动不动就按照某种关键字选出最优解来说，之后的贪心不再如此简单，也不再如此单纯，在 \rm DP 和数据结构的骨架连接处都有贪心存在。

• Exchange Arguments_杂项 \color{red}\large\circledcirc
  说起来这应该是一大类题了，存在树上的合并，有的题目还能进行区间询问，还与单调栈存在不少联系。

  遗憾的是，本篇文章中只记了梗概和两道例题。

• 传递性_杂项 \color{red}\large\circledcirc
  紧承 Exchange Arguments 的就是传递性的讨论，本篇记录了有些时候，如果我们定不出“等号”的传递性，就通常给不出一个完备的贪心方案，此时需要我们进行进一步的讨论和限制，直至我们定出等号的传递性。

  题目来源是 NFLS2023 秋季的一道模拟赛题。

• 反悔贪心（模拟费用流）_LCA \color{red}\large\circledcirc
  模拟费用流_LCA \color{red}\large\circledcirc

  很难说反悔贪心算不算贪心，不过还是放在这里了，这两篇都没写完，不过里面还是存在一些不错的思想的。

  模拟费用流是个大帽子，很多复杂的最优化方法都被囊括在其中，与数据结构的关系尤为紧密。

构造

只有一篇笔记。

• LCA智慧构造_专题_LCA \color{red}\large\circledcirc

  涉及了 8 道例题（前两道题疑似不是构造），对思维的训练效果是不错的。

数据结构

是比较大的一个板块，学习 \rm OI 时我就挺喜欢数据结构的，很多技巧总是很神奇，又与其它领域的技巧有着明显区别。

里面涉及了一些 \rm LXL 技巧，内容大概按照推荐程度排序，上面部分是技巧下面部分是板子。

• 颜色段均摊ODT_算法 \color{blue}\large\circledcirc
  记录了怎么用 \rm ODT 实现颜色段均摊，以及记录了一个我很喜欢的技巧：范围区间并，以及更强的结构：把 \rm ODT 换成线段树。

• O(nlogn)支配对_成型笔记 \color{blue}\large\circledcirc
  比较成熟的记录，涉及了两类支配对以及系统的做法，涵盖了 9 道例题。

• 倍增值域分块_成型笔记 \color{blue}\large\circledcirc
  记录了五道例题，系统讲解了倍增值域分块。

• YunQianDStricks_专题_LCA \color{blue}\large\circledcirc​
  涉及了三个很有意思的技巧（以及它们之间的结合）以及两道例题。

• 线段树全家桶_成型笔记 \color{blue}\large\circledcirc
  非常全面地记录了线段树技巧，读完精通线段树！

• 吉司机线段树_成型笔记 \color{blue}\large\circledcirc
  介绍了吉司机线段树（因为线段树全家桶太大了），提供了五道例题。

• 线性数据结构初探：加删查最小众数_随笔 \color{red}\large\circledcirc
  不实用但很考验基本功的随笔，讨论的是当我们 ban 掉哈希表后，用哪些技巧可以搞出线性数据结构，读完说不定会对基本功扎实一点。

• 线性数据结构 2：根路径度数_随笔 \color{red}\large\circledcirc
  写完初探之后听 LXL 分享了一种新的简单的线性数据结构技巧，很简略。

• 信息合并：where 结合律 from？_随笔 \color{red}\large\circledcirc
  不错的短篇总结，内容如题。

• 谈一类特殊回滚莫队——链表莫队_杂项 \color{red}\large\circledcirc
  初学时不会高端技巧，硬对着题解里的莫队做法看懂了，读完这篇可以对莫队的能力上限有新的认知。

• 数点问题_杂项 \color{red}\large\circledcirc
  记录了两道有点困难的数点题，第二道题是详细带图的“平面三角查询”的做法。

• 整体二分_杂项 \color{red}\large\circledcirc
  提及了整体二分的概念和“非递归式整体二分”的构想，很简略。

• 众数杀手_杂项 \color{red}\large\circledcirc
  提到了一类“众数”数据结构题常用的 \rm trick，并给了不少例题。

• 分块套分治_专题_LCA \color{red}\large\circledcirc
  记录了一种分块套分治的比较泛用的技巧，记录了一道题并提及了两道题。

• 分块维护不带修区间点对信息_杂项 \color{red}\large\circledcirc
  如题，只分析了该如何维护，没有提供例题。

• （需复习）二次离线莫队_算法 \color{red}\large\circledcirc

  讲了二离莫队本身并提及了两道例题。

• LXLtreetricks_专题_LCA \color{red}\large\circledcirc

  记录了四道与树有关的数据结构题目。

• LXL根号数据结构_专题_LCA \color{red}\large\circledcirc

  没写完，写了的部分涉及了一些比较经典的根号技巧，其中的名字奇怪的例题来源于 LCA Project。

• WBLT_随笔 \color{red}\large\circledcirc

  是 \rm WBLT 的一个入门教程，没有涉及例题。

• 全局平衡二叉树_算法 \color{red}\large\circledcirc

  简略证明了全局平衡二叉树的复杂度（与“动态规划”部分“闵可夫斯基和”一节的部分内容很相似），提供了模板，没有提供例题。

• 压位Trie_算法 \color{red}\large\circledcirc

  简略的提了压位 \rm Trie 是什么、怎么实现，给了板子没给例题，该算法的局限性也很大。

• LXLDStricks_专题_LCA \color{purple}\large\circleddash

  格式不全，提及了几个经典 \rm trick 的名字以及例题，或许可以对着名字检验一下自己熟不熟悉这些技巧。

• K-D Tree_算法 \color{purple}\large\circleddash

  里面只有板子没有讲解，码风也称不上好看。

• paring heap_算法 \color{purple}\large\circleddash

  只有板子。

• 左偏树_算法 \color{purple}\large\circleddash

  只有一个板子，它的应用出现在闵可夫斯基和那篇笔记中的 THUPC 题目。

数论

• exLucas 平替_随笔 \color{blue}\large\circledcirc

  不错的短篇文章，内容如题。

• 离散对数 阶 原根 剩余_算法 \color{blue}\large\circledcirc

  内容如题，记录了知识体系和几道例题。

• 万能欧几里得学习笔记_算法 \color{blue}\large\circledcirc

  相当详细，虽然万欧本身的实用程度是有限的（到现在我也不会推类欧），阅读之后可以领会一些思想。

  我的某篇鲜花里也有万欧。

• 欧拉降幂_杂项 \color{red}\large\circledcirc

  介绍了欧拉降幂的知识体系和三道例题。

• 杜教筛Powerful Number_算法 \color{red}\large\circledcirc

• 积性函数筛法（1）_算法 \color{red}\large\circledcirc

• 积性函数筛法（2）_算法 \color{red}\large\circledcirc

• 积性函数筛法（后记）_算法 \color{red}\large\circledcirc

  这四篇要放到一起说，这部分内容是一个失败的项目（内容很多，但很多东西都停在构想上，没写完）。

  曾经我觉得只要我肯用心钻研，无论知识多困难我也会研究明白，并写出一篇漂亮的笔记（闵可夫斯基和那篇笔记，有些代码在文化课期间被我花一个周才啃下来）。

  但积性函数筛法让我有了很大的挫败感，当年的国家队选手周康阳的集训队论文就有关于积性函数筛法的突破，因此在一开始了解到一些还有点意思的概念时我很欣喜，觉得我也会研究透这部分内容。

  具体的经历可以去看后记那一篇，此处不便展开。

  失败的堂吉诃德也有他的意义，后来者可以代他击溃风车，自认为这几篇的体系写的还是挺不错的，如果想了解知识体系可以阅读一下。

• FastDiv FastMod_杂项 \color{red}\large\circledcirc

  用于对整数除法和取模进行加速，注意上面的是假板子。

  另一个邪修加速方法是使用 double 除法，在现代计算机上这竟然比整数除法要快。

• excrt exgcd_算法 \color{red}\large\circledcirc
  记录了板子和推法，没有例题。

组合数学

组合数学里的一些内容被图论、数论、数学杂项瓜分了，所以显得比较少。

说起组合数学，我现在的印象其实是，数学竞赛里有一个板块叫组合，在接触了数学竞赛的其它板块后，会发现，按照数学竞赛的分法，\rm OI 的绝大部分内容都属于组合，只有少量的数论和代数。

也让我想到在 \rm LCA 集训营训练时，\rm LCA 也喜欢将非常多的问题称为组合问题。

• 叶子川Mathtricks_专题_LCA \color{blue}\large\circledcirc
  涉及容斥原理和等量代换两种技巧，涉及了四道例题，思维含量不错。

• 组合计数_杂项 \color{blue}\large\circledcirc
  涉及了组合数的各种求法、组合数前缀和的各种求法，以及三道例题，最后一道例题的文风写的很稚嫩。

• 双射法_算法 \color{red}\large\circledcirc
  来源是徐睿在山东省集 2024 的一次分享，只记了两道题的原因是，实在是太难了。

  组合数学的高端内容很恐怖，而基础内容哪怕是小朋友也能理解，是一门很有意思的学科。

线性代数

一部分内容被“数学杂项”和“图论”瓜分了，剩下的内容十分的毒瘤。

• 线性规划对偶_成型笔记 \color{blue}\large\circledcirc
  相当满意的一篇内容！详细研究了一篇不错的 Blog，并比较完美地给出了一些解释。

  似乎与大学中的最优化内容有着较深联系。

• 特征多项式_成型笔记 \color{blue}\large\circledcirc
  建议结合“图计数 矩阵树”来理解这部分内容，\rm LGV 引理与矩阵树定理都可以利用特征多项式实现一些优化。

• 正交线性基_杂项 \color{blue}\large\circledcirc
  介绍了正交线性基的定义以及线性基求交的方法。

  深入研究的话会涉及比较不可名状的邪恶内容，建议浅尝辄止。

• 高斯消元_算法 \color{red}\large\circledcirc
  记录了高斯消元板子（包括辗转相除）、矩阵求逆板子、行列式求值板子。

数学杂项

• NTT 入门_随笔 \color{blue}\large\circledcirc

  比较详细地介绍了 \rm NTT 的推法，以及网上的各种优化算法的推法。

  建议了解这几种算法的理性之美，不建议投入毒瘤多项式苦海。

• 快速沃尔什变换_成型笔记 \color{blue}\large\circledcirc

  非常详细地介绍了 \rm FMT 与 \rm FWT 相关的各种知识点，内含几道例题和一道非常非常困难的例题。

  其中的“位矩阵”内容与 command_block 的位矩阵内容相似，但转置了一下，我个人觉得我的版本更为符合直觉。

  在 2024-2025 赛季中，集合幂级数大行其道，但我在记录这篇笔记时根本没觉得它会在赛场上考，只是凭借审美追求在探索知识，后来我折戟沉沙，或许不擅长集合幂级数（却自认为擅长）是我退役的直接原因之一。

  希望各位不要松懈这部分内容的训练。

• 排列（置换群Polya定理）_成型笔记 \color{blue}\large\circledcirc

  很详实的记录了置换（与数据结构的结合）并进一步介绍了 \rm Polya 定理，提供了几道例题。

  后半部分建议仅感受一下其中的思想并记住结论，目前没有证据证明 \rm Polya 定理会出现在正赛中。

• （暴力）多项式与生成函数_成型笔记 \color{red}\large\circledcirc
  介绍了如何暴力进行多项式的各种操作，给想要了解多项式但不想走上毒瘤 NTT 之路的同学一个了解多项式基础操作的渠道。

• Lagrange 插值_成型笔记 \color{red}\large\circledcirc
  介绍了拉格朗日插值的基础，有两道例题。

• min-max 容斥_算法 \color{red}\large\circledcirc
  介绍了推法，记录了两道例题，提及了一道例题。

• 数学小记：1988IMOP6_随笔 \color{red}\large\circledcirc

  记录了一道结构精巧的数学题，它可以被改编成 \rm OI 题，揭示了辗转相除法相关内容的推法。

• 鞅_杂项 \color{red}\large\circledcirc

  概率高阶内容，没有证据证明正赛会考。

  有一定概率在文化课模拟赛中出现，文化课太魔怔了。

  可以用来感受一下概率世界的一些思想。

• 有限微积分_算法 \color{red}\large\circledcirc

  一篇摘抄笔记，似乎最开始记录它是想用来求自然数幂和的。

  应用价值不大。

• Steiner 系初探_退役期间 \color{purple}\large\circleddash
  退役期间的一次小探索，对 \rm OI 来说价值不大，提及了组合数学方面的一些内容。

图论

• 广义串并联图_成型笔记 \color{blue}\large\circledcirc
  有推法、代码模板和两道例题，有图，有图！！当年的绝帆太用心了。

• 图计数矩阵树_成型笔记 \color{blue}\large\circledcirc\color{blue}\large\circledcirc
  这是最神的几篇之一，内容非常详实，讲了几乎所有图计数类型题，涵盖 \rm LGV 引理、矩阵树定理、\rm BEST 定理以及超多例题。

• 网络流 - 技巧_LCA \color{blue}\large\circledcirc
  技巧很全，给到上上签。

• 网络流 - 模型_LCA \color{blue}\large\circledcirc
  模型也比较全，给到上签。

• LCA图论_专题_LCA \color{blue}\large\circledcirc
  有三道题没写完只提及了题号，但剩余部分干货很多，例题也不少。

• Boruvka & Kosaraju_杂项 \color{red}\large\circledcirc

  讲了两个图论冷门算法，分别有 3 道和 1 道例题。

• DAG上容斥_杂项 \color{red}\large\circledcirc

  里面有推法和两道例题。

  如果场上会这个该多好，如果一年后的场上会这个该多好。

• 单源正权单调求和最短路通用解法_杂项 \color{red}\large\circledcirc
  是一类很具体的问题，讲的很详细。

  我发现最短路也是一种启发式搜索。

• 无向图子图计数-摘抄_LCA \color{red}\large\circledcirc
  三元环计数、四元环计数、鸡爪计数都在里面。

  可以了解到一些基础的无向图子图计数技巧。

• KM复习_LCA \color{red}\large\circledcirc

  里面有 HK 算法和 KM 算法的概述，板子没挂上去，可以查看我的洛谷提交（真的很短！）

• 二分图边染色摘抄&KM复习_专题_LCA \color{red}\large\circledcirc

  话说真的很建议看一看 xlpg0713 的二分图边染色原文，这个技巧能做很多题。

  KM 复习被我挪出去了。

• 最小树形图_算法 \color{red}\large\circledcirc
  我讨厌最小树形图，要是我高二省选前没学这个破算法就不会觉得省选 2025 D2T2 和它有关然后浪费半个小时了。

  这个算法还挺牛的，可以学习一下以感受纯粹的贪心的美感，当你在场上觉得要应用这个算法的时候要三思。

• tarjan_算法 \color{red}\large\circledcirc

  里面存了强连通、圆方树、边双板子和 NFLS2023 暑假的一个 tarjan 模板赛中的 9 道题。

  虽然有些题没有题面，但大多数还是有题面（或原题）的。

  可以作为基础的 tarjan 相关算法练习。

• 虚树学习笔记_算法 \color{red}\large\circledcirc

  是好久好久好久之前写的文章，文风很稚嫩，讲了求虚树的方法，以及动态加点删点求虚树大小的技巧。

字符串

• 后缀数组_成型笔记 \color{blue}\large\circledcirc
  成型笔记，详细的模板、结构和例题。

• 后缀自动机_成型笔记 \color{blue}\large\circledcirc
  成型笔记，详细的模板、结构和例题。

• 回文系列_成型笔记 \color{blue}\large\circledcirc
  成型笔记，详细的模板、结构和例题，另外里面的内容其实比较冷门，但真的很酷炫！

  回文串与 \rm border 理论有着较为深刻的练习，但我只掌握了皮毛，我所掌握的 \rm border 理论不足以支撑我做出区间 \rm border 这道题。

• 后缀树的 dfn 是字典序_随笔 \color{red}\large\circledcirc
  如题，这是某一天突然意识到的以前没意识到的事情，发现有一些题既可以在自动机上做也可以在后缀树上做。

• AC自动机_杂项 \color{red}\large\circledcirc
  NFLS2023 的 AC 自动机专题，文风较为稚嫩，但内容很全，有匹配、自动机上 \rm DP 和各种技巧。

• exkmp（Z 函数）_算法 \color{red}\large\circledcirc
  讲了推法和模板，比较简略。

• 对称压缩后缀自动机_算法 \color{purple}\large\circleddash
  这个比较魔怔，虽然结构讲的比较明白但没有实现过，不保证都是对的，两道例题也不是可提交状态。

杂项

• max、逻辑与绝对值_随笔 \color{blue}\large\circledcirc
  内容很精简，但我觉得真的是好内容。

• 复杂度鉴赏_LCA \color{blue}\large\circledcirc
  简直是聊斋志异，可以开眼界，第一道题是 P13042 [GCJ 2021 #3] Binary Search Game。

• 树上高消_随笔 \color{blue}\large\circledcirc
  全面记录了树上高消的几种题型。

• Ad-Hoc_杂项 \color{red}\large\circledcirc

  记录了 喵了个喵 和 桂花树 两道（从前）公认的 Ad-Hoc 题，如今的 \rm OI 已日新月异，说不定万恶之源就是从喵了个喵开始的。

• DAG 链剖分_随笔 \color{red}\large\circledcirc

  只是简略的提了一嘴它是什么，这个东西的唯一作用就是放在后缀自动机上搞毒瘤操作。

  在复杂模板式微的当下，它应用价值较差，建议仅作了解，了解一下“原来还能这么构造”即可。

• 树上信息表示（欧拉序 括号序 prufer）_专题_LCA \color{red}\large\circledcirc

  内容还行，就是有题号的题太少了，可以当思维练习。

• 树上信息统计_专题_LCA \color{red}\large\circledcirc

  综合说了一些小技巧。

  我发现我的笔记里没有树分治相关，比较遗憾，不过也是常见的数据结构技巧了，应该能帮到大家的也有限。

• 证明_LCA \color{red}\large\circledcirc
  记录了几道思维题目，思考题来源是 LCA 集训营（如有侵权请通知我删除）。

• LCA组合方法_专题_LCA \color{red}\large\circledcirc
  记的不全，并且说的比较玄乎，没有例子帮助理解，如果能精准理解其中的思想或许比较有用。

• DFA 最小化_算法 \color{purple}\large\circleddash
  只有一个板子。

• 归约小记_随笔 \color{purple}\large\circleddash
  记录了常见的归约内容（LCA 很喜欢这个），当然后半部分没记完，只列了大纲。

• 随机化_LCA \color{purple}\large\circleddash

  只提及了五道例题。

格式参考

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