「SiR-1」Checkmate

· · 题解

题外话：本体题目出自番剧《NO GAME NO LIFE》且题目背景中「来吧，游戏开始了。」是第一季中男主“空”的口头禅。（强烈推荐观看《NO GAME NO LIFE ZERO》）

言归正传：

题目解读：

在 n 行 m 列的棋盘中放置一颗棋子，获得上下左右的未被放置棋子的格子数的值。

题目分析：

由题目可以得到在完全空白的棋盘中，放置在角能得到 2 分，放置在棱能得到 3 分，放置在中心块能得到 4 分。（在 1 行或 1 列时，角能得 1 分，棱能得 2 分，无中心块）

如果我们不考虑空白位置（即任意位置都能得分），我们会发现刚好是上述分值的 $2$ 倍。 ### 准备午休时想到了另一种理性的证明（应该能理解的） 首先我们先思考放置一枚棋子能带来什么影响。(可以先思考一下再接着看) 我们在理想的情况下得到的分数是角 $×2+$ 棱 $×3+$ 中心块 $×4$ ，也就是每个块都拿到了能拿到的最大分值。（但是毕竟我们应该考虑影响） 于是乎在考虑影响的情况下，我们的每一步行动都将获得一个分值，但是总分数（就是理想情况下的分数）将减去这个分值。因此，我们在考虑影响的情况下的能获得的分值是(角的值 $+$ 棱的值 $+$ 中心块的值) $/2

如图所示：

分类讨论情况如下：（也可以合并,因为考场没有想到第一个式子包含了第二个式子）

n≥2 且 m≥2 时

val=$ ( $angel×2+edge×3+center×4$ ) $/2

n<2 且 m<2 (就是 1 行或者 1 列的情况)

由于 $n=1$ 或 $m=1$ ,可得 $val=n-1$ 或 $val=m-1$ (合并的时候能用到) 从某种意义上来讲就是影响互相抵消 ## 以上是考场时写出来的，以下是考后的优化（算是吧） $val=$ ( $angel×2+edge×3+center×4$ ) $/ 2

根据上式并列得出完整式子，式子得出过程如下：

//sum==val,a==angel,b==edge,c==center
a=4;
b=2*n+2*m-2*a;
c=n*m-a-b;
sum=(a*2+b*3+c*4)/2;    //将此式化简可得:sum(val)=2*n*m-n-m;

将 n=1 或 m=1 带入得此式为： sum=m-1 或 sum=n-1
由此可知 val= ( angel×2+edge×3+center×4 ) /2 包含 val=n+m-2

AC代码如下

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
int main()
{
    ll T;
    scanf("%lld",&T);
    for(ll i=1;i<=T;++i)
    {
        ll n,m,a,b,c,sum;
        scanf("%lld%lld",&n,&m);
        if(n>=2&&m>=2)
        {
            a=4;
            b=2*n+2*m-2*a;
            c=n*m-a-b;
            sum=(a*2+b*3+c*4)/2;
        }
        else
            sum=n+m-2;
        printf("%lld\n",sum);
    }
    return 0;
}

于是乎我推荐大家试试[THUPC 2023 初赛] 大富翁
感觉两题都有相似之处。
本蒟蒻的第一篇题解（问题已改正），求管理员通过，还请各位大佬指出错误，一同进步。（点个赞再走吧，QAQ）