P12303 [ICPC 2023 WF] 未来水世界 题解

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结论：

每块的面积相等，直接求平均值即可。

证明：

我们考虑一个半径为 R 的球体，使用球坐标系：

球面的面积元素为 dA = R^2 \sin\theta \, d\theta \, d\phi。

垂直方向（z 轴方向）将球体分成等高的层，设每层的高度为 \Delta z。

由于 z = R \cos\theta，有

$。代入面积元素 $dA = R^2 \sin\theta \left( -\dfrac{dz}{R \sin\theta} \right) d\phi = -R \, dz \, d\phi$，取绝对值（面积为正）为 $dA = R \, dz \, d\phi$。 将经度 $\phi$ 等分，设每份的角度为 $\Delta \phi$。 将球体沿 $z$ 方向分成 $n$ 等分，每层高度为 $\Delta z = \dfrac{2R}{n}$；将经度分成 $m$ 等分，每份角度

\Delta \phi = \dfrac{2\pi}{m}

。每个块的面积为

\Delta A = R \, \Delta z \, \Delta \phi = R \cdot \dfrac{2R}{n} \cdot \dfrac{2\pi}{m} = \dfrac{4\pi R^2}{n m}$，与位置无关。

球体总表面积为 A_{\text{total}} = 4\pi R^2，总块数为 n \times m，与上述结果一致，得证。