P6988

zhylj · 2022-01-10 00:09:45 · 题解

考虑对每个平行于圆柱底面的截面，记其到圆柱底面的距离为 x，不妨求出截面上有油的面积 f(x)，然后使用自适应辛普森法求出 \int_{-r}^{l+r} f(x)\mathrm dx 即为答案。

我们以截面上圆柱轴与截面的交点为原点，截面上过原点且平行于底面的直线为 x 轴，过原点且垂直于 x 轴的直线为 y 轴建立坐标系，那么不难发现我们只需要求出截面所截得圆的半径以及水面与截面交线在坐标系中的高度即可求得截面上有油部分的面积，我们不妨分开讨论这两个问题：

对于水面与截面交线在坐标系中的高度 Y：

不妨考虑其与底面的高度 Y + \dfrac d2，那么有：

对于所截得圆的半径 R，分两种情况讨论：

• 否则求出 x 超出的部分的长度 x'=-x 或 x-l（根据在左侧或者右侧），然后不难得到：

然后大力积分就做完了。

const ff EPS = 1e-8, INF = 1e5, PI = acos(-1);

ff d, l, r, t, h;

ff Sq(ff x) { return x * x; }

ff F(ff x) {
    ff l_d = sqrt(Sq(l) - Sq(t)) + EPS;
    ff Y = (h * l - t * x) / l_d - d / 2, R = 0;
    if(x > -EPS && x < l + EPS) R = d / 2;
    else {
        R = Sq(r) - Sq(sqrt(Sq(r) - Sq(d / 2)) + (x < EPS ? -x : x - l));
        if(R < 0) return 0;
        R = sqrt(R);
    }
    ff s_cir = Sq(R) * PI;
    if(Y > R - EPS) return s_cir;
    if(Y < -R + EPS) return 0;
    ff s = sqrt(Sq(R) - Sq(Y)) * Y,
        s_arc = acos(Y / R) * Sq(R);
    return s_cir - s_arc + s;
}

ff Simp(ff L, ff R) {
    return (R - L) * (F(L) + 4 * F((L + R) / 2) + F(R)) / 6;
}
ff Asr(ff L, ff R, ff ans, int step) {
    ff mid = (L + R) / 2, fl = Simp(L, mid), fr = Simp(mid, R);
    if(fabs(fl + fr - ans) < EPS && step < 0) return (fl + fr + ans) / 2;
    return Asr(L, mid, fl, step - 1) + Asr(mid, R, fr, step - 1);
}
ff Solve(ff L, ff R) {
    return Asr(L, R, Simp(L, R), 12);
}

int main() {
    rd(d, l, r, t, h);
    d /= 100; l /= 100; r /= 100; t /= 100; h /= 100;
    printf("%.2lf\n", Solve(-r, l + r));
    return 0;
}