【题解】CF1485C Floor and Mod（二分答案，整除分块）

· · 题解

【题解】CF1485C Floor and Mod

博客园食用效果更佳

emmm……NOIP 考前两周，跟 CSP 考前一样（虽然最后并没有去考），写篇题解增加以下 RP（雾）。

提供一篇思路大体和题解区相同但用了二分写法的题解。

题目链接

CF1485C Floor and Mod

题意概述

求 1\le a\le x,1\le b\le y 且 \lfloor\frac{a}{b}\rfloor =a\bmod b 的 (a,b) 个数。

数据范围

思路分析

首先我们设 \left\lfloor \dfrac{a}{b}\right \rfloor=k，则：a=bk+k=k(b+1)。也就是说 a 是 b+1 的倍数。

那么题意转化为：

在 [1,x] 里找一个 a，在 [1,y] 里找一个 b，满足 a 是 b+1 的倍数，问有多少对这样的 (a,b)。

那么我们考虑对于 [1,y] 里的每一个 b，[1,x] 中有多少个 a 满足题意。其实就相当于问 [1,x] 中有多少个 b+1 的倍数，显然有 \left\lfloor\dfrac{x}{b+1}\right\rfloor 个。

那么总的答案就为

\sum \limits_{i=1}^y \left\lfloor\frac{x}{i+1}\right\rfloor=\sum \limits_{i=2}^{y+1} \left\lfloor\frac{x}{i}\right\rfloor

那么可以直接整除分块解决。

结果我写完发现样例都过不了。。所以显然是有问题的。

我们发现 b 首先不能为 1，因为任何数是 1 的倍数，而任何数除以 1 不可能为 0。

所以我们的下界应该从 3 开始。

其次，在 a=bk+k=k(b+1) 中，我们忽略了一个重要条件，k 在这里相当于 a\bmod b，是余数，而余数不能大于等于除数，即 k<b。

所以对于 [3,y] 的每一个 b，其实只有 \left \lfloor \dfrac{a}{b+1}\right\rfloor<b 的 a 才满足题意。

那么这样的 a 在 [1,x] 中有 \left\lfloor\dfrac{\min(b+1)(b-1),x}{b+1}\right\rfloor 个。

那么整个答案就为：

\begin{aligned}\sum \limits_{i=2}^y\left\lfloor\dfrac{\min((i+1)(i-1),x)} {i+1}\right\rfloor&=\sum \limits_{i=3}^{y+1}\left\lfloor\dfrac{\min(i(i-2),x)} {i}\right\rfloor\\&=\sum \limits_{i=3}^{lim} (i-2)+ \sum \limits_{i=lim+1}^{y+1}\left\lfloor \dfrac{x}{i}\right\rfloor\\&=\frac{(1+lim-2)\times(lim-3+1)}{2}+\sum \limits_{i=lim+1}^{y+1}\left\lfloor\dfrac{x}{i}\right\rfloor\end{aligned}

其中 lim 表示的是使得 i\times(i-2)\le x 的最后一个 i。

那么 lim 直接枚举/解不等式/二分都可，我这里采用的是二分。

最后的式子中，第一项显然可以 O(1) 求出，第二项显然可以整除分块，于是整道题成功解决。

时间复杂度：O(T(\log y+\sqrt y))。

易错点

没啥细节，只是需要开 long long。

代码实现

//CF1485C
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define int long long
using namespace std;

inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
    return x*f;
}

int work(int n,int k,int lim)
{
    int ret=0;
    for(int l=lim,r;l<=n;l=r+1)
    {
        if(k/l==0)break;
        r=min(k/(k/l),n);
        ret+=(k/l)*(r-l+1);
    }
    return ret;
}

signed main()
{
    int T;
    T=read();
    while(T--)
    {
        int x,y;
        x=read();y=read();
        int now=0;
        for(int step=(1ll<<30);step>=1;step>>=1)
        {
            if(now+step<=(y+1)&&(now+step)*(now+step-2)<=x)now+=step;
        }
        int lim=now;
        cout<<(lim-2)*(lim-1)/2+work(y+1,x,lim+1)<<'\n';
    }
}