UVA1180 Perfect Numbers 题解

LambCoder · 2023-07-27 17:02:05 · 题解

相信大家已经看了其他题解的代码，但几乎没证明当 2 ^ p - 1 与 p 是质数时 2^ {p - 1}(2 ^ p - 1) 为完全数。所以这篇题解就来证明一下。

要证明当 2^p - 1与p 都是质数时，2^{p-1}(2^p - 1) 是一个完全数，我们需要回顾完全数的定义。

完全数是指一个正整数，它的所有真因数的和等于它本身。例如，6 是一个完全数，因为 1、2 和 3 是 6 的真因数，而它们的和等于 6。

现在我们来证明 2^{p-1}(2^p - 1) 是一个完全数。

首先，我们观察到当 p 是质数时，2^p - 1 也是质数，这是由于费马小定理的推论：如果 p 是质数，那么 2^p - 1 对 p 取模等于1。

接下来，我们证明 2^{p-1}(2^p - 1) 的所有真因数的和等于它本身。

我们知道 2^p - 1 是一个质数，因此它只有两个因子：1和2^p - 1。因此，2^p - 1 没有其他的真因数。

然后，我们观察到 2^{p-1} 是 2^p 的一个真因数。也就是说，2^p 可以被 2^{p-1} 整除。

因此，2^{p-1}(2^p - 1) 的真因数包括 1、2^{p-1} 和 2^p - 1。

现在，我们来计算这些真因数的和：

我们可以看到，这些真因数的和等于 2^p，也就是 2^{p-1}(2^p - 1) 本身。

因此，2^{p-1}(2^p - 1) 的所有真因数的和等于它本身，证明了它是一个完全数。

综上所述，当 2^p - 1 与 p 是质数时，2^{p-1}(2^p - 1) 是一个完全数。

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