题解：P5517 [MtOI2019] 幻想乡数学竞赛
无名之雾
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题解
不理解为什么没人用特征根法求通项公式。
首先需要将 3^n 消去。以构造特征方程。
3a_n=9a_{n-1}+3a_{n-2}-9a_{n-3}+3^{n+1}
3a_{n+1}=3a_{n}+a_{n-1}-3a_{n-2}+3^{n+1}
a_{n+1}=6a_n+8a_{n-1}-6a_{n-2}+9a_{n-3}
a_{n+4}=6a_{n+3}+8a_{n+2}-6a_{n+1}+9a_n
构造特征方程：
x^4=6x^3+8x^2+6x+9
(x+1)(x-1)(x-3)^2
特征根为 1,-1,3,3
设 a_n=1^nA+(-1)^nB+3^n(Cn+D)。
有方程组：
\end{cases}
解得：
\end{cases}
a_n=\dfrac{9}{8}+\dfrac{15}{32}(-1)^{n+1}+3^n(\dfrac{9}{8}n-\dfrac{117}{32})
a_n=\dfrac{3^{n+2}(4n-13)+36-15(-1)^n}{32}