题解 P4999 【烦人的数学作业】 -- 数位 dp

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数位 dp。

设 dp_{q,i}（i\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}）为 1\sim q 中 i 出现的次数，1\sim q 的数字和显然就是 dp_{q,0}\times 0+dp_{q,1}\times 1+\cdots+dp_{q,i}\times i\cdots+dp_{q,9}\times 9。

所以我们只需要求出 1\sim q 中 i 出现的次数就能解决这个问题了。

这个问题看起来很好解决，但是注意前导零会影响结果，所以不能有前导零。

这该怎么办呢？

有前导零的式子很容易推出。有 q 位数字，i 数码的出现次数对于 x\in\{s\mid s\in \mathbb N,10^q\le s\le10^{q+1}\} ，f(q,i) 的数量都是相等的（设 f(q,i) 为 q 位数 i 数码的出现次数）。

具体求法罢，是：

\begin{cases}f(q,i)=0&q=0\\f(q,i)=10f(q-1)+10^{q-1}&q>0\end{cases}

我们考虑减去多余的 0。

我们先设数字为 \overline{A_1A_2A_3\dots A_n}

我们首先考虑求 \overline{A_100\dots 0}，将 \overline{A_100\dots 0} 分割为区间 [0000,1000),[1000,2000),\dots,[\overline{(A_1-1)00\dots 0},\overline{A_100\dots 0})，所以答案就为 10^{n-1}A_1，注意 <A_1 的每个数还出现了 10^{n-1} 次，所以要加上。

首位 A_1 出现了 \overline{A_2A_3\dots A_n}+1 次，答案还要加上 \overline{A_2A_3\dots A_n}+1，

当然还需要处理前导 0，用排列组合算一下会知道 i 位 q 个前导零的数量就是 10^q（q\in\{s\mid s\in\mathbb N,0\le s\le i-1\}），把它们加起来会发现一共出现了 10^{i-1}+10^{i-2}+...10（\sum\limits_{k=0}^{i-1}10^k） 次，减一下即可。

Code:

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=51,MOD=1e9+7; //注意能 MOD 的地方都要 MOD，不然会 WA 0pts。
ll pow10[N],dp[N],a[N],count[N],tmpcount[N],ans;
// pow10    : 字面意思，10^n
// dp       : 不考虑前导零的状况
// count    : 统计 0~9 出现次数
// tmpcount : 暂时保存 count，用来减
// ans      : 累加答案
void init() //预处理 pow10 和 dp。
{
    pow10[0]=1;
    for (int i=1;i<30;i++) dp[i]=(dp[i-1]*10%MOD+pow10[i-1])%MOD,pow10[i]=10*pow10[i-1]%MOD;
}
void solve(ll x)
{
    int len=0;
    while (x){a[++len]=x%10;x/=10;} //数位分离
    for (int i=len;i>=1;i--)        //从高到低遍历
    {
        for (int j=0;j<10;j++) count[j]+=dp[i-1]*a[i],count[j]%=MOD;  //分割区间
        for (int j=0;j<a[i];j++) count[j]+=pow10[i-1],count[j]%=MOD; //加上 10^(n-1)
        ll lastnum=0;
        for (int j=i-1;j>=1;j--) lastnum=lastnum*10+a[j],lastnum%=MOD; //求出 A2A3A4...An
        count[a[i]]+=lastnum+1,count[a[i]]%=MOD;
        count[0]-=pow10[i-1],count[0]=(count[0]+MOD)%MOD; //减去前导零
    }
}
int main()
{
    init();
    ll l,r,T;
    cin>>T;
    for (int q=0;q<T;q++)
    {
        ans=0; cin>>l>>r;
        solve(r); //前缀和思想相减 r 和 l-1。
        for (int i=0;i<10;i++) (tmpcount[i]=count[i]),count[i]=0; //复制 count，记得清零
        solve(l-1);
        for (int i=0;i<10;i++) ans=(ans+i*(tmpcount[i]-count[i]+MOD)%MOD)%MOD,count[i]=0; //累加答案，记得清零 count。
        cout<<ans<<'\n';
    }
    return 0;
}

Refence 求数字 i 出现的次数。