U564637 数学题 题记
xiehq
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算法·理论
原题： 数学题
这是一篇对其中关键公式的证明，不是题解
首先让我们明白我们要证什么。
\sum_{i=0}^{n}(-1)^i\binom{n}{i}(a+i)^n=(-1)^{n}n!
如果你搜索一下 AI 告诉你用二项式定理或数学归纳法，所以让我们来看看出题人（csy）是怎么想的。
我（xhq）给他了一个神奇的函数：
f_0(i)&=i^n\\
f_k(i)&=f_{k-1}(i+1)-f_{k-1}(i)\\
\text{则}\ f_n(i)&=n!
\end{aligned}
如：
\text{令} f_0(x)&=x^4\\
f_1(x)&=f_0(x+1)-f_0(x)\\
f_2(x)&=f_1(x+1)-f_1(x)\\
f_3(x)&=f_2(x+1)-f_2(x)\\
f_4(x)&=f_3(x+1)-f_3(x)\\
\text{则}f_4(x)&=24=4!\\
\end{aligned}
我们还拿 n=4 来举例子
\text{令} a&=i^4\\ b&=(i+1)^4\\ c&=(i+2)^4\\ d&=(i+3)^4\\ e&=(i+4)^4\\
\end{aligned}
| 函数 |
值 |
值 |
值 |
值 |
值 |
系数 |
| f_0(i): |
a |
b |
c |
d |
e |
1 |
| f_1(i): |
b-a |
c-b |
d-c |
e-d |
1,-1 |
| f_2(i): |
c-2b+a |
d-2c+b |
e-2d+c |
1,-2,1 |
| f_3(i): |
d-3c+3b-a |
e-3d+3c-b |
1,-3,3,-1 |
| f_4(i): |
e-4d+6c-4b+a |
1,-4,6,-4,1 |
我们看一下系数是怎么推的：
从上面的两个系数相错位减得到下面的系数。
(竖式)
| 项 |
数 |
数 |
数 |
数 |
数 |
| a: |
1 |
-3 |
3 |
1 |
| b: |
1 |
-3 |
3 |
1 |
| a-b: |
1 |
-4 |
6 |
-4 |
1 |
当然系数的推到其实就是 C_n^i=C_n^{i-1}+C_{n-1}^{i-1}
注意不要忘了现在的 f_4(i)=4!
然后让我们将 a,b,c,d,e 带入 f_4(i)
f_4(i)=(i+4)^4-4(i+3)^4+6(i+2)^4-4(i+1)^4+i^4
稍微调整一下顺序
f_4(i)=i^4-4(i+1)^4+6(i+2)^4-4(i+3)^4+(i+4)^4
若 n=3
f_3(i)=-(i+3)^3+3(i+2)^3-3(i+1)^3+i^3=-3!
尝试总结通项公式
f_n(k)=\sum_{i=0}^{n}(-1)^i\binom{n}{i}(k+i)^n=(-1)^{n}n！
这个式子太熟悉了，不就是开头要证明的吗！
OK，到这里就证毕了！！
P.S. xhq和csy都是6年级小学生，所以证明可能不严谨，有任何问题，请评论！！或私信用户CHSY89 （csy）cpp_xhq（xhq）