数学小记 #1：等势并不代表性质相同

Starrykiller · 2025-01-06 01:57:23 · 个人记录

可以定义 [0,1] 上的均匀分布，但是无法定义 \mathbb R 上的均匀分布。

任取整数 i,j，必有 \operatorname{Pr}([i,i+1))=\operatorname{Pr}([j,j+1))。必然有 \displaystyle \sum_{i\in \mathbb{Z}} \operatorname{Pr}([i,i+1))=1，由可列可加性这不可能。其实这也证明了不存在 \mathbb{Z},\mathbb{N} 上的均匀分布。

而相同的方法对 [0,1] 是失效的，原因是 [0,1] 是不可列的。

在今天之前我一直对等势这样的字眼有着错误的认知，认为「因为 \mathbb R 和 [0,1] 等势，所以既然能在 [0,1] 上定义均匀分布，就能在 \mathbb R 上定义均匀分布」。感谢 MatrixGroup 老师和 nalemy 老师的指教。