卷绕数 (winding number) 的几种视角
Gorenstein
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算法·理论
C^1 曲线的卷绕数
S^1 上的卷绕数
先来看 S^1 上的卷绕数。在 3.1 到 3.6 中，我们先假设曲线都是 C^1 的。
定义 3.1 \quad 设 S^1\subset\mathbb R^2 为单位圆而 c:I=[0,b]\to S^1,t\mapsto(x(t),y(t)) 为闭曲线。找到一个 \varphi_0 使得 \cos(\varphi_0)=x(0),\sin(\varphi_0)=y(0)。定义
\begin{aligned}
\varphi:I&\longrightarrow\mathbb R,\\
t&\longmapsto\varphi(t):=\varphi_0+\int_0^t(xy'-yx')\,d\tau,
\end{aligned}
称作闭曲线 c 的角度函数。
角度函数的几何意义由以下命题立即给出：
引理 3.2 \quad 设 c:[0,b]\to S^1 为闭曲线，\varphi 为其角度函数，则
\begin{cases}
\cos(\varphi(t))=x(t),\\
\sin(\varphi(t))=y(t).
\end{cases}
证明 \quad 设 F(t):=(x(t)-\cos(\varphi(t)))^2+(y(t)-\sin(\varphi(t)))^2，则
\begin{aligned}
F&=(x-\cos\varphi)^2+(y-\sin\varphi)^2\\
&=x^2-2x\cos\varphi+\cos^2\varphi+y^2-2y\sin\varphi+\sin^2\varphi.
\end{aligned}
注意到 \varphi'=xy'-yx'，对 F 求导得
\begin{aligned}
F'&=2xx'-2(x'\cos\varphi-x\varphi'\sin\varphi)-2\varphi'\cos\varphi\sin\varphi\\
&\quad+2yy'-2(y'\sin\varphi+y\varphi'\cos\varphi)+2\varphi'\cos\varphi\sin\varphi\\
&=2(xx'+yy')+2(-x'-y\varphi')\cos\varphi+2(-y'+x\varphi')\sin\varphi.
\end{aligned}
由于 x(t)^2+y(t)^2=1，有 2x(t)x'(t)+y(t)y'(t)=0，即 xx'+yy'=0。x,y 或 x',y' 显然不能恒为零，唯一可能是存在一个 k(t) 使得 x'=-ky,\,y'=kx。如此一来
\varphi'(t)=xy'-yx'=k(x^2+y^2)=k(t),
于是 x'=-\varphi'y,\,y'=\varphi'x。代入得
F'\equiv 0.
这表明 F 是常数。注意到取 t=0 则
F=F(0)=(x(0)-\cos(\varphi_0))^2+(y(0)-\sin(\varphi_0))^2=0,
故 F 在 [0,b] 上恒为零。这就证明了 \cos(\varphi(t))=x(t),\sin(\varphi(t))=y(t)。\square
定义 3.3 \quad 设 c:[0,b]\to S^1 为一条闭曲线，\varphi 为其角度函数。定义
n(c):=\frac{1}{2\pi}(\varphi(b)-\varphi(0)),
称作 c 的卷绕数 (winding number)。由于 c 是闭曲线，由引理 3.2 知 n(c)\in\mathbb Z。
一般 C^1 闭曲线, 同伦不变性
现在着手将卷绕数的概念推广到一般闭曲线上。
定义 3.4 \quad 设 p\in\mathbb R^2，\gamma:[0,b]\to\mathbb R^2\setminus\{p\}，记 d(t):=\gamma(t)-p,\,\rho(t):=|d(t)|,\,c(t):=d(t)/\rho(t)，则 d,\rho,c\in C^1，且 \gamma(t)=p+\rho(t)c(t)。定义
n(\gamma,p):=n(c)
为 \gamma 在 p 点的卷绕数。
命题 3.5 \quad 设 \gamma(t):=p+\rho(t)c(t) 为一条闭曲线 [0,b]\to\mathbb R^2\setminus\{p\}。记 (x(t),y(t)):=\gamma(t)-p，则
n(\gamma,p)=\frac{1}{2\pi}\int_{\gamma}\omega_0,\qquad\omega_0:=-\frac{y}{x^2+y^2}\,dx+\frac{x}{x^2+y^2}\,dy.
证明 \quad 注意到 c(t)=(x(t)/\rho(t),y(t)/\rho(t))，因而
\begin{aligned}
n(c)&=\frac{1}{2\pi}\int_0^b\left(\frac{x(t)}{\rho(t)}\left(\frac{y(t)}{\rho(t)}\right)'-\frac{y(t)}{\rho(t)}\left(\frac{x(t)}{\rho(t)}\right)'\right)\,dt\\
&=\frac{1}{2\pi}\int_0^b\left(\frac{x}{\rho}\frac{y'\rho-y\rho'}{\rho^2}-\frac{y}{\rho}\frac{x'\rho-x\rho'}{\rho^2}\right)\,dt=\frac{1}{2\pi}\int_0^{b}\frac{xy'-yx'}{\rho^2}\,dt.
\end{aligned}
另一方面
\begin{aligned}
\frac{1}{2\pi}\int_{\gamma}\omega_0&=\frac{1}{2\pi}\int_{\gamma}\left(-\frac{y}{x^2+y^2}\,dx+\frac{x}{x^2+y^2}\,dy\right)\\
&=\frac{1}{2\pi}\int_0^b\left(-\frac{yx'}{x^2+y^2}+\frac{xy'}{x^2+y^2}\right)\,dt=\frac{1}{2\pi}\int_0^b\frac{xy'-yx'}{\rho^2}\,dt,\\
\end{aligned}
于是 n(\gamma,p)=n(c)=\frac{1}{2\pi}\int_{\gamma}\omega_0。\square
定理 3.6 \quad 设 \gamma_0,\gamma_1:[0,b]\to\mathbb R^2\setminus\{p\} 为两条闭曲线。则 \gamma_0 与 \gamma_1 自由同伦当且仅当 n(\gamma_0,p)=n(\gamma_1,p)。
证明 \quad 对命题 3.5 中的 1-形式 \omega_0 做一次外微分得
\begin{aligned}
d\omega_0&=d\left(-\frac{y}{x^2+y^2}\,dx+\frac{x}{x^2+y^2}\,dy\right)\\
&=d\left(\frac{-y}{x^2+y^2}\right)\wedge dx+d\left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)\wedge dy\\
&=\frac{-x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2}\,dy\wedge dx+\frac{-x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2}\,dx\wedge dy=0,
\end{aligned}
故 \omega_0 是闭的。两条自由同伦道路上闭形式的积分永远相等，于是由命题 3.5 可知必要性。
充分性：设 \gamma_j=p+\rho_jc_j，令 \varphi_j 为 c_j 的角度函数，记 \varphi(t,\tau):=(1-\tau)\varphi_0(t)+\tau\varphi_1(t)，H(t,\tau):=p+(\cos(\varphi(t,\tau)),\sin(\varphi(t,\tau)))，并记 \widehat{\gamma}_j:=p+c_j 以及
H_j(t,\tau):=p+\frac{\rho_j(t)}{(1-\tau)+\tau\rho_j(t)}c_j(t).
显然 H_j 是 \gamma_j 到 \widehat{\gamma}_j 的自由同伦。若 n(\gamma_0,p)=n(\gamma_1,p)，则 \forall\tau\in[0,1] 有
\begin{aligned}
\varphi(b,\tau)-\varphi(0,\tau)&=(1-\tau)\varphi_0(b)+\tau\varphi_1(b)-\big((1-\tau)\varphi_0(0)+\tau\varphi_1(0)\big)\\
&=(1-\tau)(\varphi_0(b)-\varphi_0(0))+\tau(\varphi_1(b)-\varphi_1(0))\\
&=(1-\tau)2\pi n(\gamma_0,p)+\tau 2\pi n(\gamma_1,p)=2\pi n(\gamma_0,p),
\end{aligned}
故 H 是 \widehat{\gamma}_0 到 \widehat{\gamma}_1 的自由同伦。综上所述
\gamma_0\simeq\widehat{\gamma}_0\simeq\widehat{\gamma}_1\simeq\gamma_1,
这就证明了充分性。\square
扩张到可求长曲线
一般地，设 \gamma:[a,b]\to\mathbb C 是一条闭的可求长曲线，w\notin\operatorname{im}(\gamma)，定义
\begin{aligned}
u:[a,b]&\longrightarrow S^1=\partial\mathbb D\subset\mathbb C\\
t&\longmapsto\frac{\gamma(t)}{|\gamma(t)-w|},
\end{aligned}
则由定理 3.6 知若 \gamma 一次可微则 n(\gamma,w)=n(u)。现在着手将卷绕数推广到可求长曲线上，并用复积分表示。
引理 3.7 (提升引理的特例) \quad 设 \pi:\mathbb R\to S^1,s\mapsto e^{i2\pi s} 为万有覆叠。则存在 u 的提升 \tilde u:[a,b]\to\mathbb R 使得 \pi\circ\tilde{u}=u。
证明 \quad 若 u 一次可微则 \tilde u 可取 \varphi(t)/2\pi，这连带证明了 u 分段可微曲线时的存在性。由于可求长曲线能由分段可微曲线逼近，引理得证。\square
定义 3.8 \quad 设 \gamma:[a,b]\to\mathbb C，w\notin\operatorname{im}(\gamma)，u 定义如上，\tilde u 为其提升。定义 \gamma 对 w 的卷绕数为 n(\gamma,w)=\tilde u(b)-\tilde u(a)，这是定义 3.3 的扩张。
定理 3.9 \quad 卷绕数关于自由同伦的变分连续，即设 \gamma_j:[a,b]\to\mathbb C，w\notin\operatorname{im}(\gamma_j) 可求长，H(t,\tau) 为其 \gamma_1 到 \gamma_2 的一个自由同伦，则 n(\tau):=n(H(\cdot,\tau),w) 连续。特别地，若 \gamma_1,\gamma_2 自由同伦，则 n(\gamma_1,w)=n(\gamma_2,w)。
证明 \quad 对 H 运用提升引理得 \tilde H，则 n(\tau)=\tilde H(b,\tau)-\tilde H(a,\tau)。由于 \tilde H 连续，n(\tau) 自然连续。由于 n(\tau) 取值总是整数，有 n(\gamma_1,w)=n(0)=n(1)=n(\gamma_2,w)。\square
定理 3.10 \quad 设 \gamma:[a,b]\to\mathbb C 为可求长曲线，w\notin\operatorname{im}(\gamma)。则
n(\gamma,w)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{1}{z-w}\,dz.
评说 \quad 可求长曲线能由分段可微曲线一致逼近，于是只需对 C^1 的情况证明命题。这里给出两种证法。
证法 1 \quad 令 \zeta(t):=\gamma(t)-w=x(t)+iy(t)，则
\begin{aligned}
\frac{d\zeta}{\zeta}&=\frac{dx+i\,dy}{x+iy}=\frac{(dx+i\,dy)(x-iy)}{(x+iy)(x-iy)}\\
&=\frac{x\,dx+y\,dy}{x^2+y^2}+i\left(\frac{x\,dy-y\,dx}{x^2+y^2}\right)\\
&=\frac{x\,dx+y\,dy}{x^2+y^2}+i\omega_0,
\end{aligned}
于是
\begin{aligned}
\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{1}{z-w}\,dz&=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{d\zeta}{\zeta}\\
&=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}i\omega_0+\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{x\,dx+y\,dy}{x^2+y^2}\\
&=n(\gamma,w)+\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{x\,dx+y\,dy}{x^2+y^2}.
\end{aligned}
留意到
\frac{x\,dx+y\,dy}{x^2+y^2}=\frac{1}{2}\frac{d(x^2+y^2)}{x^2+y^2}=\frac{1}{2}d\log(x^2+y^2)
是恰当的，绕 \gamma 积分为零。故
n(\gamma,w)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{1}{z-w}\,dz.
证法 2 \quad 令
h(t):=\frac{1}{2\pi i}\int_a^t\frac{\gamma'(s)}{\gamma(s)-w}\,ds,\qquad g(t):=e^{-2\pi ih(t)}(\gamma(t)-w),
则
\begin{aligned}
h'(t)&=\frac{1}{2\pi i}\frac{\gamma'(t)}{\gamma(t)-w},\qquad g'(t)\equiv 0,
\end{aligned}
于是 g(t) 为常数；进一步有 g=g(a)=(\gamma(a)-w)。于是
e^{2\pi ih(t)}=\frac{\gamma(t)-w}{\gamma(a)-w}.
另一方面
e^{2\pi i\tilde u(t)}=\frac{\gamma(t)-w}{|\gamma(t)-w|},
令 v(t):=\log|\gamma(t)-w|，则 v(b)=v(a) 且
e^{2\pi i\tilde u(t)+v(t)}=\gamma(t)-w,
于是存在常数 \alpha\in\mathbb C 使得
2\pi ih(t)=2\pi i\tilde u(t)+v(t)+\alpha,
是故
n(\gamma,w)=\tilde u(b)-\tilde u(a)=h(b)-h(a)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{1}{z-w}\,dz.
\square