P10144 题解

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WC2024 被打爆了，呜呜。我赛时会这题 8 分指数级暴力，哈哈。真不知道自己在干嘛。

下文令 T = 2L。

考虑如何判定一个序列 a 是否合法。考虑先枚举一个 T。因为要求 r_i < r_{i + 1}，考虑讨论相邻两项的取值：

也就是说：

若这个序列不存在一组 r 则一定能从上述四个条件得出矛盾。有三种矛盾：

考虑不枚举 T 怎么判合法性。考虑第二种矛盾，相当于若存在 i 使得 a_{i - 1} \le a_i, a_i \ge a_{i + 1}，那么 T > \min(a_{i - 1} + a_i, a_i + a_{i + 1})，否则就会产生矛盾；类似地考虑第三种矛盾，若存在 i 使得 a_{i - 1} \ge a_i, a_i \le a_{i + 1}，那么 T < \max(a_{i - 1} + a_i, a_i + a_{i + 1})。

也就是说对于一些位置有 T \in (l_i, r_i) 的限制，若最后这些区间交出来不是空集（即 \max l_i < \min r_i）那么就合法。这时候发现第一种矛盾不需要考虑，因为若区间交出来不是空集则 T 有无限个取值。

回到原题，考虑计算合法的子区间个数。发现对于一个左端点，合法的右端点一定是一段区间。直接二分右端点再判定即可。判定就是判区间 \max l_i 是否 < \min r_i。

总时间复杂度 O(n \log n)。

// Problem: P10144 [WC/CTS2024] 水镜
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P10144
// Memory Limit: 512 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
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#include <bits/stdc++.h>
#define pb emplace_back
#define fst first
#define scd second
#define mkp make_pair
#define mems(a, x) memset((a), (x), sizeof(a))

using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double ldb;
typedef pair<ll, ll> pii;

const int maxn = 500100;
const int logn = 22;

ll n, a[maxn], f[logn][maxn], g[logn][maxn];

inline ll qmax(int l, int r) {
    int k = __lg(r - l + 1);
    return max(f[k][l], f[k][r - (1 << k) + 1]);
}

inline ll qmin(int l, int r) {
    int k = __lg(r - l + 1);
    return min(g[k][l], g[k][r - (1 << k) + 1]);
}

void solve() {
    scanf("%lld", &n);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        scanf("%lld", &a[i]);
    }
    for (int i = 2; i < n; ++i) {
        f[0][i] = -1e18;
        g[0][i] = 1e18;
        if (a[i - 1] <= a[i] && a[i] >= a[i + 1]) {
            f[0][i] = min(a[i - 1] + a[i], a[i] + a[i + 1]);
        }
        if (a[i - 1] >= a[i] && a[i] <= a[i + 1]) {
            g[0][i] = max(a[i - 1] + a[i], a[i] + a[i + 1]);
        }
    }
    for (int j = 1; (1 << j) <= n; ++j) {
        for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; ++i) {
            f[j][i] = max(f[j - 1][i], f[j - 1][i + (1 << (j - 1))]);
            g[j][i] = min(g[j - 1][i], g[j - 1][i + (1 << (j - 1))]);
        }
    }
    ll ans = 0;
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
        int l = i + 1, r = n, p = -1;
        while (l <= r) {
            int mid = (l + r) >> 1;
            if (mid - i <= 1 || qmax(i + 1, mid - 1) < qmin(i + 1, mid - 1)) {
                p = mid;
                l = mid + 1;
            } else {
                r = mid - 1;
            }
        }
        ans += p - i;
    }
    printf("%lld\n", ans);
}

int main() {
    int T = 1;
    // scanf("%d", &T);
    while (T--) {
        solve();
    }
    return 0;
}