多面体欧拉公式

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去年我写了一篇 平面图欧拉公式 被锐评「原来一篇算法理论可以这么短(」，于是我写一篇更短的。

公式：V-E+F=2，其中 V 是点数，E 是棱数，F 是面数。

证明 先拍扁成一张「平面图」（背面保留），设各面边数分别为 a_1,a_2,\cdots,a_F ，令 a_F 为背面。

易知

\sum_{i=1}^Fa_i=2E

核心：对角度算两次。

分别从面的角度和整体的角度，可得

\sum_{i=1}^F(a_i-2)\pi=(V-a_F)\cdot2\pi+2(a_F-2)\pi

整理得

\begin{aligned} \sum_{i=1}^Fa_i-2F&=2V-4\\ V-E+F&=2 \end{aligned} \square