题解 P5589 【小猪佩奇玩游戏】

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这题还是比较妙妙套路的，复杂度为O(log^2N)，可以卡掉\sqrt n的做法

首先我们可以把原数列分成很多个集合，集合之间肯定是两两独立的，考虑分别计算答案

我们定义f_i为集合大小为i出现过多少次（集合大小最多为logN级别），g_i表示集合大小为i删除完的期望步数

那么答案是可以表示成\sum_{i=1}^{log_N}{f_i*g_i}

现在考虑怎么求出f_i, g_i

你可能会好奇题目下方的提示有什么用，没错他就是给你求f_i用的

考虑集合大小至少为i出现了多少次，记之为p_i，那么p_k=n^{\frac{1}{k}}

再考虑容斥，因为这个集合是有序集合，集合大小为a的集合出现在集合大小为b的集合中出现了\frac{b}{a}次

证明：假设一个集合开始元素是x，那么x^{a*k}≤x^{b}，即a*k≤b，即k ≤ \frac{b}{a}

由于f集合大小不大，我们暴力算就行了，这里复杂度为O(log^2N)（可能可以套一个整除分块优化至O(logN*log \sqrt N)，不太清楚怎么做）

然后考虑怎么就g_i（打表！）

对于每一个集合，我们只取他们的对数，于是问题就转化成给定一个排列，每次可以删除一个数及其倍数，求期望删除次数

发现对于每一个数，假设他的约数个数为d_i，那么他是可能被d_i个数删除的

考虑递推求出g_i，那么g_i=g_{i-1}+\frac{1}{d_i}（一个数会被d_i个数删完，只有\frac{1}{d_i}的概率需要多花费一次来删掉这个新加入的数）

那么我们就做完了，总体复杂度为O(log^2N)

Code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i, s, t) for(int i = s; i <= t; ++ i)
#define drep(i, s, t) for(int i = t; i >= s; -- i)
#define maxn 100005
int p[maxn], f[maxn], n, m;
double g[maxn], ans;
bool check(int a, int b, int n) {
    long long pax = a;
    for(; b; b --, pax = pax * a) if(pax > 1ll * n) return 1;
    return 0;
}
int get(int i, int n) {
    int l = 1, r = n, ans = n;
    while(l <= r) {
        int mid = (l + r) >> 1;
        if(check(mid, i, n)) r = mid - 1, ans = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return ans - check(ans, i, n);
}
int d(int x) {
    int ans = 1;
    rep(i, 2, 30) {
        if(x % i) continue;
        int tot = 0;
        while(x % i == 0) ++ tot, x /= i;
        ans *= (tot + 1);
    }
    return ans;
}
void init() {
    g[1] = 1.0;
    rep(i, 2, 30) g[i] = g[i - 1] + 1.0 / d(i);
}
int main() {
    init(), scanf("%d", &m);
    while(m --) {
        scanf("%d", &n), ans = 1, p[31] = 1;
        rep(i, 1, 30) p[i] = get(i, n);
        rep(i, 1, 30) f[i] = p[i] - p[i + 1];
        drep(i, 1, 30) rep(j, 2, 30) f[i / j] -= f[i];
        rep(i, 1, 30) ans += g[i] * f[i];
        printf("%.10lf\n", ans);
    }
    return 0;
}