题解 P6039 【「ACOI2020」音速】（重制版）

Rubidium_Chloride · 2020-02-03 23:26:00 · 题解

这是本人写的第一篇题解，有什么不足还请大家见谅

进博客食用更佳呦！

0.前情提要

重制版，修了一下 \LaTeX 之类的内容。

1.题目大意

首先我们来概括一下题意：

输入两个数 x,y，以及一个半径 r，表示目的地的坐标和投掷的范围。

2.处理1

为了解决这个比较简单的问题，我们需要有一些数学的头脑。

注意题目中 “而且他们必须要传送后移动到杀老师的位置才能攻击它” 一句，表明他们必须使用传送器。

两点之间直线最短。

所以我们可以顺其自然地想到要朝杀老师的方向投掷传送器！！

证明：

首先建立平面直角坐标系 xOy，先算出杀老师（位于 A 点）到学生们（位于 O 点）的欧几里得距离（dis）以及杀老师与学生的连线与 x 轴的夹角 \alpha，记朝 \alpha 方向掷出的传送器会将同学们传送至 B 点，既证 BA+OB 这段距离最短（尽管 OB 是传送的，但也相当于走过了，纳入计算）。

接下来分两种情况讨论：

如果 2\times r\le dis：

若掷出传送器的角度 \theta\neq \alpha：

则会将同学们传送至与 B 不同的点 B_1，学生们需要再从 B_1 走到 A，总路程为 OB_1+B_1A。

因为三角形两边之和大于第三边，所以 OB_1+B_1A>OA=OB+BA

所以朝着 \alpha 方向扔是最有利的。

如果 2\times r> dis，此时传送器会将学生们传送至更远的地方了。

若掷出传送器的角度 \theta\neq \alpha。

则会将同学们传送至与 B 不同的点 B_1，学生们需要再从 B_1 走到 A，总路程还是为 OB_1+B_1A。

连接 BB_1，令 \angle OBB1=\beta，\angle AB_1B=\gamma。

因为 OB_1=OB=2\times r，所以\angle OB1B=\angle OBB1=β，

所以 \gamma<\beta。

运用正弦定理，可得 \dfrac{B_1A}{\sin\beta}=\dfrac{BA}{\sin\gamma}。

因为 \sin\beta,\sin\gamma>0，且 \sin\beta>\sin\gamma，

所以 B_1A>BA。

综上，证毕。

3.处理2

在一大段的证明后，我们解决了本题的第一小问，接下来我们处理第二小问。

我们要研究的就是在单位圆意义下，\tan\alpha 到底代表什么？

答：\dfrac{y}{x}（纵坐标/横坐标）。

证明：令由原点引出的一条射线交单位圆于 C(x_1,y_1)，与 x 轴正半轴夹角为 \alpha。

则 \cos\alpha=x_1,\sin\alpha=y_1。