快去尝试单尺作图内接正257边形吧

· · 算法·理论

首先我们来看关于单尺作图最基础的两个问题：

首先先看如何已知中点做平行线（如下图，已知直线 AB 和线段 AB 上的中点 C，要求过直线外一点的 D 作 DE\parallel AB）：

::::info[做法]

作线段 AC 并延长至点 E。连接 BE，连接 BC,DE 交于点 F。连接 AF，延长 AF 交 BE 与点 G，作直线 CG。直线 CG 即为所求。

证明的话用赛瓦定理就显而易见了（后面的图可能大多用的是直线，见谅）。

::::

然后再看如何已知平行线做中点（如下图，已知直线 AB 与直线 CD，AB\parallel CD，求做 AB 中点）：

::::info[做法]

跟上面类似。

作直线 AC,BD 交于点 E，连接 AD,BC 交于点 F,延长 EF 交 AB 于点 G。点 G 即为所求。

::::

::::info[挑战]

  1. 已知圆及圆心且给定直径，求做给定定点的垂线。

  2. 已知线段中点，作三等分点。

  3. 已知两条不平行的线段的中点，求作任意一条线段的中点。

  4. 作未知圆心的圆过圆外一定点的切线。

  5. 求两个相交的未知圆心的圆的圆心。

::::

::::info[解析]

前三个都比较简单，就说一下后两个。

  1. 如图所示：过点 C 作与圆相交的直线 DG,EF，作直线 DE,GF 交于点 I，作直线 DF,EG 交于点 H。连接 IH 交圆于点 K,J，作直线 CK,CJ。CK,CJ 即为过点 C 两条切线。

  1. 如图所示：在右边的圆选取一点 C，过点 C 作与圆相交的直线 BD,AE。连接 AD,BE 交于点 F，连接 CF。再在左边的圆选取一点 C_1，然后同上述操作。最终 CF,C_1F_1 会交于点 H。可以证明：AH,BH 为左边圆的切线。

同理可以作点 G 使得 AG,BG 为右边圆的切线。作直线 GH 交左右两个圆从左到右分别于 J_1,I_1,I_2,J_2。过点 B 作与圆相交的直线 K_2J_1,P_1I_1,P_2I_2,K_1J_2。连接 P_1K_2,P_2K_1 分别交 GH 于点 O_1,O_2。O_1,O_2 即为所求。

::::

接下来我们要将真的用于作圆内接正多边形的家伙了（已知圆心）。

由于圆的性质，显然我们可以随便作中点，平行线，垂直和角平分线。

我还是稍微说一下吧：由挑战 3 ，因为我们可以随便选两个直径，所以我们显然可以做线段的中点和平行线（这样子我们可以随便平移线）。我们将线通过平移挪到过圆心处，由挑战 1 我们就可以作垂线了。将一个角挪到圆心处，连接两条射线与圆相交的点。做这条线段的中点然后连接圆心和中点并延长。所得的射线再平移回去就可以角平分线。

然后我们考虑圆内接正多边形的重点：

我们先考虑第二个问题。

如图所示设线段 MN 的长度为正多边形的长度。作平行四边形 MNOB,MOBC（上面已经说过可以作任意直线的平行线），作 OB,OC 的中点 D,E，作 DF\perp BC,EG\perp BC 交圆于点 F,G，连接 FG。易证 FG=DE=MN。

连接 OG，过点 F 作 FH\perp OG。后面的同理。这样我们就把尾巴收好了。

该回到第一个问题了：如何支持线段加减乘除和开平方？

加减的话，先通过平移让他们有一个公共的端点（如图所示，要计算 AB+BC 和 AB-BC），我们可以作 \angle ABC 的平分线和 \angle BCD 的平分线。然后过点 C 分别作两条平分线的垂线交 AD 于 E,F，则 AE=AB-BC,AF=AB+BC。

乘除的话，我们只看除（乘可以通过 ab=\frac{a}{\frac{1}{b}} 解决），先给两条线段平移到同一直线且有公共端点，且将长度为 1 的线段与这两条线段不平行地放到另一个端点（如图所示，AB=a,AC=b,CD=1）。连接 AD，作 BE\parallel CD 交 AD 于点 E，则 BE=\frac{a}{b}。

开根的话（我懒得画图了），先让 MN=a 延长 1 至点 K，将其等比缩放到长度为 2，对齐到直径（M'N'K'）后利用射影定理作垂线分别交圆于直线于点 P，则 N'P=\frac{2\sqrt a}{a+1}，再通过相似即可（如图所示 NQ=\sqrt a）。

上述方法可能比较麻烦，欢迎提供更好的方法！

好的，你已经学会了单尺作图，接下来请挑战圆内接正 257 边形吧！