题解 P3232 【[HNOI2013]游走】

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Description

题目链接：Luogu 3232

有一个无向简单连通图，顶点从 1 编号到 n，边从 1 编号到 m。

小 Z 在该图上进行随机游走，初始时小 Z 在 1 号顶点，每一步小 Z 以相等的概率随机选择当前顶点的某条边，沿着这条边走到下一个顶点，获得等于这条边的编号的分数。当小 Z 到达 n 号顶点时游走结束，总分为所有获得的分数之和的，答案保留 3 位小数。

现在，请你对这 m 条边进行编号，使得小Z获得的总分的期望值最小。

数据范围：2\le n\le 500

Solution

由于没有对 m 的范围进行限定，那么 m 的最大值可以达到 O(n^2)，这是无法接受的，因此我们考虑先统计点的期望次数。

我们设 deg_i 表示第 i 个点的度数，f_i 表示第 i 个点期望经过次数：

f_i=\begin{cases}f_1=\sum_{(i,j)\in E,j\neq n} \frac{f_j}{deg_j}+1 & i=1\\f_i=\sum_{(i,j)\in E,j\neq n} \frac{f_j}{deg_j} & 1<i<n\end{cases}

由于 n 点时就停止游走了，因此不能考虑 n 点的贡献。接下来我们对 n-1 个 f_i 进行高斯消元求解。

我们设 g_i 表示第 i 条边期望经过次数：

g_i=\frac{f_u}{d_u}+\frac{f_v}{d_v}\quad E_i=(u,v),u\neq n, v\neq n

排序贪心，期望越大的边标号越小。

时间复杂度：O(n^3)

Code

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>

const int N=505,M=5e5+5;
int n,m,tot,lnk[N],ter[M],nxt[M],st[M],ed[M],deg[N];
double a[N][N],b[N],x[N],f[M];

void add(int u,int v) {
    ter[++tot]=v,nxt[tot]=lnk[u],lnk[u]=tot;
}
void Gauss(int n) {
    for(int i=1;i<=n;++i) {
        int p=i;
        for(int k=i+1;k<=n;++k) if(fabs(a[k][i])>fabs(a[p][i])) p=k;
        if(i!=p) std::swap(a[i],a[p]),std::swap(b[i],b[p]);
        for(int k=i+1;k<=n;++k) {
            double d=a[k][i]/a[i][i];
            b[k]-=d*b[i];
            for(int j=i;j<=n;++j) a[k][j]-=d*a[i][j];
        }
    }
    for(int i=n;i>=1;--i) {
        for(int j=i+1;j<=n;++j) b[i]-=x[j]*a[i][j];
        x[i]=b[i]/a[i][i];
    }
}
int main() {
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;++i) {
        scanf("%d%d",&st[i],&ed[i]);
        add(st[i],ed[i]),add(ed[i],st[i]);
        ++deg[st[i]],++deg[ed[i]];
    }
    for(int u=1;u<n;++u) {
        a[u][u]=1.0;
        for(int i=lnk[u];i;i=nxt[i]) {
            int v=ter[i];
            if(v!=n) a[u][v]=-1.0/deg[v];
        }
    }
    b[1]=1;
    Gauss(n-1);
    for(int i=1;i<=m;++i) {
        int a=st[i],b=ed[i];
        if(a!=n) f[i]+=x[a]/deg[a];
        if(b!=n) f[i]+=x[b]/deg[b];
    }
    std::sort(f+1,f+m+1);
    double ans=0;
    for(int i=1;i<=m;++i) ans+=(m-i+1)*f[i];
    printf("%.3lf\n",ans);
}