题解 P2726 【[SHOI2005]树的双中心】

· · 题解

\text{吾观此题无题解，故补之。}

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先考虑一个O(N^2)做法。

设选的两个点为x,y，则一定可以将树分成两个集合A,B，使得A集合所有点都去x，B集合所有点都去y，而这两个集合的分界点就是树上的一条边。于是考虑枚举断哪条边，然后对两边分别跑一遍带权树的重心，统计答案加起来取最小值就行了。

现在进行优化，求树的重心的方法可以参考医院设置。 以1为根建树，f[u]表示所有点到u的总距离。（人数乘以距离）

转移方程是：

f[v]=f[u]+size[1]-size[v]-size[v]

可以发现，只有当size[v]*2>size[1]时v比u更优，而且满足size[v]*2>size[1]的v数量<=1。

所以我们可以预处理出每个点的子树大小最大的儿子和次大的儿子，每次断边时自下而上修改其所有祖先的size大小，这时最大儿子可能变小，进而被次大儿子替代，直接判断一下然后走此时的大儿子就行。易得时间复杂度为O(NH)，这也就是题中提到树的高度不超过100的原因吧。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define INF 2147483647
using namespace std;
#define Open(s) freopen(s".in","r",stdin);freopen(s".out","w",stdout);
#define Close fclose(stdin);fclose(stdout);
int s, w; char ch;
inline int read(){
    s = 0; ch = getchar();
    while(ch < '0' || ch > '9') ch = getchar(); 
    while(ch >= '0' && ch <= '9'){ s = s * 10 + ch - '0'; ch = getchar();}
    return s;
}
const int MAXN = 100010;
struct Edge{
    int next, to;
}e[MAXN << 1];
int head[MAXN], num, a[MAXN], size[MAXN], f[MAXN], val[MAXN], dep[MAXN], son[MAXN], Sson[MAXN], A, B, n, root, ans = INF, cut;
inline void Add(int from, int to){
    e[++num].to = to; e[num].next = head[from]; head[from] = num;
    e[++num].to = from; e[num].next = head[to]; head[to] = num;
}
int getsize(int u, int fa){
    size[u] = a[u]; f[u] = fa; dep[u] = dep[fa] + 1;
    for(int i = head[u]; i; i = e[i].next)
        if(e[i].to != fa){
            getsize(e[i].to, u);
            size[u] += size[e[i].to];
            val[u] += val[e[i].to] + size[e[i].to];
            if(size[e[i].to] > size[son[u]]){
              Sson[u] = son[u];
              son[u] = e[i].to;
            }
            else if(size[e[i].to] > size[Sson[u]])
              Sson[u] = e[i].to;
        }
}
void getans(int u, int now, int all, int &res){
    res = min(res, now);
    int v = son[u];
    if(v == cut || size[Sson[u]] > size[son[u]]) v = Sson[u];   //如果size变化后次大大于最大
    if(!v) return;
    if(size[v] * 2 > all) getans(v, now + all - size[v] - size[v], all, res);  //如果size[v]*2<=all就没有继续往下走的意义了，因为此时u一定最优
}
int solve(int u){
    for(int i = head[u]; i; i = e[i].next)
       if(e[i].to != f[u]){
         cut = e[i].to;  //断边
         A = B = INF;
         for(int now = u; now; now = f[now]) size[now] -= size[e[i].to];  //自下而上修改其父亲size
         getans(1, val[1] - val[e[i].to] - dep[e[i].to] * size[e[i].to], size[1], A);
         getans(e[i].to, val[e[i].to], size[e[i].to], B);    //求两个集合的答案
         ans = min(ans, A + B);
         for(int now = u; now; now = f[now]) size[now] += size[e[i].to];   //回溯
         solve(e[i].to);
       }
}
int main(){
    //Open("practice");
    n = read(); dep[0] = -1;
    for(int i = 1; i < n; ++i) Add(read(), read());
    for(int i = 1; i <= n; ++i) a[i] = read();
    getsize(1, 0);
    solve(1);
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}