UVA10209 题解

0x00AC3375 · 2023-10-26 15:48:05 · 题解

题目描述

在一个正方形内以 4 个角为圆形画了 4 段四分之一圆弧，将方形分成了 9 个部分。请求出：

中央区域的面积 A_1（斜线部分）；
与中央区域相邻的四个“曲边等腰三角形”的面积 A_2（打点部分）；
边上四个“窄带”的面积 A_3（网格部分）；

分析

本题是一道较为基础的几何问题。

设正方形的边长为 a，中央的面积为 A_1，“曲边三角形”（4 个）的总面积为 A_2，窄带（4 个）的总面积为 A_3，则根据几何关系，全部区域面积之和为 a^2，即：

A_1+A_2+A_3=a^2

两个窄带、中央面积再加上三个“曲边等腰三角形”的面积之和等于一个四分之一圆的面积，因此

A_1+\dfrac{3A_2}{4}+\dfrac{2A_3}{4}=a^2

如上图所示，根据几何关系，红线标注的三角形 CDE 是一个等边三角形，边 CD，曲线 DE 和曲线 EC 围成的面积等于两个“曲边三角形”加上一个窄带再加上中心部分。而根据容斥原理，这个面积可以由两个六分之一圆减去等边三角形的面积求得。由此我们得到

A_1+\dfrac{2A_2}{4}+\dfrac{A_3}{4}=2\times\dfrac{\pi a^2}{6}-\dfrac{\sqrt{3}a^2}{4}

联立以上三个式子，可以求得

A_1=(1+\dfrac{\pi}{3}-\sqrt{3})a^2

A_2=(-4+\dfrac{\pi}{3}+2\sqrt{3})a^2

A_3=(4-\sqrt{3}-\dfrac{2\pi}{3})a^2

将计算结果保留三位小数输出即可。

代码

import math
while(1):
    try:
        x=float(input())
        print("%.3f %.3f %.3f"%((1-math.sqrt(3)+math.pi/3)*pow(x,2),
                                (2*math.sqrt(3)-4+math.pi/3)*pow(x,2),
                                (4-math.sqrt(3)-2*math.pi/3)*pow(x,2)))
    except EOFError:break