题解：CF2120E Lanes of Cars

alexbear103 · 2025-10-10 09:12:18 · 题解

先把序列排序。贪心地移动，一定是把目前的最大值的队尾的车辆移到最小值的队尾。若最大值为 a_i，最小值为 a_j，则获得 a_i - a_j - k 的收益。

不难发现这个东西关于移动次数应该是一个凸函数。我们直接二分极大值点 mid，根据该点的差分（即移动了 mid 次以后再移动一次的收益是多少）来check。

而移动了 mid 次以后序列是确定的（一个前缀移过来了 mid，一个后缀移走了 mid）。假设这个前缀是 1\ldots l，那应当满足 \lfloor \dfrac {pre_l + mid}{l} \rfloor > a_{l+1}，后缀同理。于是我们可以 O(n) 地算出来前缀后缀分别是什么，就可以check了

code：

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define endl '\n'
#define pii pair<int, int>
#define fi first
#define se second
#define rep(x, y, z) for (int x = (y); x <= (z); ++x)
#define per(x, z, y) for (int x = (z); x >= (y); --x)
using namespace std;
constexpr int maxn = 2e5 + 5, inf = 1e12;
mt19937 rnd(20070407);
int a[maxn], sm[maxn], n, k;
bool check(int mid) {
    int l = 1, r = n;
    for (; (mid + sm[l]) / l > a[l + 1]; ++l);
    for (; (sm[n] - sm[r - 1] - mid) / (n - r + 1) < a[r - 1]; --r);
    if (l >= r) return false;
    return (sm[n] - sm[r - 1] - mid) / (n - r + 1) + ((sm[n] - sm[r - 1] - mid) % (n - r + 1) > 0) - (mid + sm[l]) / l - k > 0;
}
int calc(int mid) {
    int l = 1, r = n;
    for (; (mid + sm[l]) / l > a[l + 1]; ++l);
    for (; (sm[n] - sm[r - 1] - mid) / (n - r + 1) < a[r - 1]; --r);
    rep(i, 1, l) a[i] = (mid + sm[l]) / l + (i <= (mid + sm[l]) % l);
    rep(i, r, n) a[i] = (sm[n] - sm[r - 1] - mid) / (n - r + 1) + (i >= n - (sm[n] - sm[r - 1] - mid) % (n - r + 1) + 1);
    auto f = [](int x) {return x * (x + 1) / 2;};
    int res = k * mid;
    rep(i, 1, n) res += f(a[i]);
    return res;
}
void solve() {
    cin >> n >> k;
    rep(i, 1, n) cin >> a[i];
    sort(a + 1, a + 1 + n);
    rep(i, 1, n) sm[i] = sm[i - 1] + a[i];
    int L = 0, R = sm[n];
    while (L < R) {
        int mid = (L + R) >> 1;
        if (check(mid)) L = mid + 1;
        else R = mid;
    }
    cout << calc(L) << endl;
}
signed main() {
    int T; cin >> T;
    while (T--) solve();
    return 0;
}