《数学分析中的典型问题与方法（第三版）》习题选做
StudyingFather
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个人记录
开坑中，咕咕咕更新。
放到博客上的题主要是个人觉得有些新意和启发性，而在平时作业题中较少见到的题。书上的题目大部分是证明题，计算方面的题主要还是得做吉米多维奇（
第三章 一元微分学
3.1 导数
3.1.6 设 f(x) 在 [a,b] 上满足：
|f(x)-f(y)| \leq M |x-y|^{\alpha}
其中 M>0，\alpha>1 为常数，证明：f(x) 在 [a,b] 上恒为常数。
解：
（拉格朗日中值定理的推论：f(x) \equiv C \iff f'(x) \equiv 0）
上式两边同时除以 |x-y|，得：
\left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right| \leq M |x-y|^{\alpha - 1}
两边同时取极限：
\lim_{x \to y}\left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right| \leq \lim_{x \to y}M |x-y|^{\alpha - 1} = 0
从而得到 f'(x) \equiv 0。
应用拉格朗日中值定理的推论，得出 f(x) \equiv C。
证毕。
3.1.7 设 f(0) = 0，证明：f(x) 在 x=0 处可导的充要条件是 \lim_{h \to 0}\dfrac{1}{h}f(1-e^h) 存在。
解：
（关键是凑出导数的定义式。）
令 x=1-e^h，则 h=\ln(1-x)。
\begin{aligned}
\lim_{h \to 0}\frac{f(1-e^h)-f(0)}{h} &= \lim_{x \to 0}\frac{f(x)-f(0)}{\ln(1-x)}\\
&= \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x} \times \frac{x}{\ln(1-x)}
\end{aligned}
显然 \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\ln(1-x)} 存在，且极限值为 -1。所以 f(x) 在 x=0 处可导 \iff \lim_{h \to 0}\dfrac{1}{h}f(1-e^h)。
证毕。
3.2 微分中值定理
3.2.1 若 f(x) 在 [a,b] 上连续，且 f(a)=f(b)=0，f'(a) \times f'(b) > 0，证明：\exists \xi \in (a,b)，f(\xi)=0。
解：
（考虑利用极限的保号性，寻找两个函数值异号的点，然后利用零点存在定理求得零点。）
不妨设 f'(a),f'(b)>0。
$\therefore$ 由极限的保号性，在 $a$ 的某右邻域内，存在 $\xi_1$，使 $f(\xi_1)>0$；同理，在 $b$ 的某左邻域内，存在 $\xi_2$，使 $f(\xi_2)<0$。
在 $(\xi_1,\xi_2)$ 上应用零点存在定理，得 $\exists \xi \in (\xi_1,\xi_2)$，$f(\xi)=0$。
证毕。
### 3.4 不等式与凸函数
**3.4.9** 证明 $\dfrac{e^a-e^b}{a-b} < \dfrac{e^a+e^b}{2}$（$a \neq b$）。
解：
（对于双变量问题，考虑先固定一个变量的值，讨论另外一个变量改变时的情况）
不妨设 $a < b$，视 $a$ 为常量，$b$ 为变量。因此设 $f(x)=e^a-e^x-\dfrac{e^a+e^b}{2}(a-x)$。则原命题等价于 $f(x)>0$。
可以得出 $f'(x)=-\dfrac{e^x}{2}(1+a-x)+\dfrac{e^a}{2}$，$f''(x)=-\dfrac{e^x}{2}(a-x)$。
显然 $f''(x)>0$，从而 $f'(x)$ 单调递增；又 $f'(a)=0$，从而有 $f(x)$ 单调递增；又 $f(a)=0$，从而得出 $f(x)>0$。
证毕。
**3.4.11** $x > 1$，$r > 1$，证明 $x^r>1+r(x-1)+\dfrac{1}{2}r(r-1)(\dfrac{x-1}{x})^2$。
解：
（不等式右边与泰勒公式类似，考虑将 $x^r$ 按 $1$ 阶泰勒公式展开）
$$
\begin{aligned}
x^r &= 1+r(x-1)+\frac{r(r-1)}{2}\xi^{r-2}(x-1)^2 \quad(1 < \xi < x)\\
&= 1+r(x-1)+\frac{r(r-1)}{2}\frac{\xi^r}{\xi^2}(x-1)^2 \\
&> 1+r(x-1)+\dfrac{r(r-1)}{2}(\dfrac{x-1}{x})^2
\end{aligned}
$$
证毕。