浅析BST

do_while_true · 2020-02-29 12:15:26 · 题解

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2020-11-12 update：修了一操作的锅

题目传送门

Q: 学习二叉搜索树有什么用？

A: 我们平常所说的"平衡树"（伸展树Splay，替罪羊树等）实际上都属于"平衡二叉搜索树"，也就是既满足"平衡树"又满足"二叉搜索树"。二叉搜索树的效率比平衡二叉搜索树的效率低很多，但是在学习平衡二叉搜索树之前也要理解二叉搜索树的实现原理，此文就是来帮助理解的。

Q: 需要背过代码吗？

A: 不需要，相比背过二叉搜索树，不如多学一两个平衡树。

暴力BST最坏时间复杂度是 \mathcal{O(n^2)}。

BST就是二叉搜索树，这里讲的是最普通的BST。

BST（Binary Search Tree），二叉搜索树，又叫二叉排序树

是一棵空树或具有以下几种性质的树:

若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值
若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值
左、右子树也分别为二叉排序树
没有权值相等的结点。

看到第4条，我们会有一个疑问，在数据中遇到多个相等的数该怎么办呢，显然我们可以多加一个计数器，就是当前这个值出现了几遍。

那么我们的每一个节点都包含以下几个信息:

当前节点的权值，也就是序列里的数
左孩子的下标和右孩子的下标，如果没有则为0
计数器，代表当前的值出现了几遍
子树大小和自己的大小的和

至于为什么要有4.我们放到后面讲。

节点是这样的:

struct node{
    int val,ls,rs,cnt,siz;
}tree[500010];

其中 val 是权值，ls / rs 是左/右孩子的下标，cnt 是当前的权值出现了几次，siz 是子树大小和自己的大小的和。

以下均以递归方式呈现。

插入:

```cpp void add(int x,int v) { tree[x].siz++; //如果查到这个节点，说明这个节点的子树里面肯定是有v的，所以siz++ if(tree[x].val==v){ //如果恰好有重复的数，就把cnt++，退出即可，因为我们要满足第四条性质 tree[x].cnt++; return ; } if(tree[x].val>v){//如果v<tree[x].val，说明v实在x的左子树里 if(tree[x].ls!=0) add(tree[x].ls,v);//如果x有左子树，就去x的左子树 else{//如果不是，v就是x的左子树的权值 cont++;//cont是目前BST一共有几个节点 tree[cont].val=v; tree[cont].siz=tree[cont].cnt=1; tree[x].ls=cont; } } else{//右子树同理 if(tree[x].rs!=0) add(tree[x].rs,v); else{ cont++; tree[cont].val=v; tree[cont].siz=tree[cont].cnt=1; tree[x].rs=cont; } } } ``` ------------ ### 找前驱: $x$ 是当前的节点的下标，$val$ 是要找前驱的值，$ans$ 是目前找到的比 $val$ 小的数的最大值。找前驱的方法也是不断的在树上向下爬找具体节点，具体爬的方法可以参考代码注释部分。 ```cpp int queryfr(int x, int val, int ans) { if (tree[x].val>=val) {//如果当前值大于val，就说明查的数大了，所以要往左子树找 if (tree[x].ls==0)//如果没有左子树就直接返回找到的ans return ans; else//如果不是的话，去查左子树 return queryfr(tree[x].ls,val,ans); } else {//如果当前值小于val，就说明我们找比val小的了 if (tree[x].rs==0)//如果没有右孩子，就返回tree[x].val，因为走到这一步时，我们后找到的一定比先找到的大(参考第二条性质) return (tree[x].val<val) ? tree[x].val : ans //如果有右孩子，，我们还要找这个节点的右子树，因为万一右子树有比当前节点还大并且小于要找的val的话，ans需要更新 if (tree[x].cnt!=0)//如果当前节数的个数不为0，ans就可以更新为tree[x].val return queryfr(tree[x].rs,val,tree[x].val); else//反之ans不需要更新 return queryfr(tree[x].rs,val,ans); } } ``` ------------ ### 找后继与找前驱同理，只不过反过来了，在这里我就不多赘述了。 ```cpp int queryne(int x, int val, int ans) { if (tree[x].val<=val) { if (tree[x].rs==0) return ans; else return queryne(tree[x].rs,val,ans); } else { if (tree[x].ls==0) return (tree[x].val>val)? tree[x].val : ans; if (tree[x].cnt!=0) return queryne(tree[x].ls,val,tree[x].val); else return queryne(tree[x].ls,val,ans); } } ``` ------------ ### 按值找排名: 这里我们就要用到 $siz$ 了，排名就是比这个值要小的数的个数再 $+1$，所以我们按值找排名，就可以看做找比这个值小的数的个数，最后加上 $1$ 即可。 ```cpp int queryval(int x,int val) { if(x==0) return 0;//没有排名 if(val==tree[x].val) return tree[tree[x].ls].siz; //如果当前节点值=val，则我们加上现在比val小的数的个数，也就是它左子树的大小 if(val<tree[x].val) return queryval(tree[x].ls,val); //如果当前节点值比val大了，我们就去它的左子树找val，因为左子树的节点值一定是小的 return queryval(tree[x].rs,val)+tree[tree[x].ls].siz+tree[x].cnt; //如果当前节点值比val小了，我们就去它的右子树找val，同时加上左子树的大小和这个节点的值出现次数 //因为这个节点的值小于val，这个节点的左子树的各个节点的值一定也小于val } //注:这里最终返回的是排名-1，也就是比val小的数的个数，在输出的时候记得+1 ``` ------------ ### 按排名找值: 因为性质1和性质2，我们发现排名为 $n$ 的数在BST上是第 $n$ 靠左的数。或者说排名为 $n$ 的数的节点在BST中，它的左子树的 $siz$ 与它的各个祖先的左子树的 $siz$ 相加恰好 $=n$ (这里相加是要减去重复部分)。所以问题又转化成上一段 **或者说** 的后面的部分 $rk$ 是要找的排名 ```cpp int queryrk(int x,int rk) { if(x==0) return INF; if(tree[tree[x].ls].siz>=rk)//如果左子树大小>=rk了，就说明答案在左子树里 return queryrk(tree[x].ls,rk);//查左子树 if(tree[tree[x].ls].siz+tree[x].cnt>=rk)//如果左子树大小加上当前的数的多少恰好>=k，说明我们找到答案了 return tree[x].val;//直接返回权值 return queryrk(tree[x].rs,rk-tree[tree[x].ls].siz-tree[x].cnt); //否则就查右子树，同时减去当前节点的次数与左子树的大小 } ``` ------------ ### 删除: 具体就是利用二叉搜索树的性质在树上向下爬找到具体节点，把计数器-1。与上文同理就不粘贴代码了 --- BST的弊端: 时间复杂度最坏为 $\mathcal{O(n^2)}$ 。看完上文，你一定理解了二叉搜索树的具体实现原理和方法，但是如果构建出的一棵BST是个链的话，时间复杂度就会退化到 $\mathcal{O(n^2)}$ 级别，因为如果每次都查找链最低端的叶子节点的复杂度是 $\mathcal{O(n)}$ 的。而去保持这个树是个平衡树，就可以防止出现这个错误的复杂度。这个时候就有了平常所说的[平衡树](https://www.luogu.com.cn/problem/P3369)。 --- 完整版代码，仅供参考。 ### $\mathcal{Code}:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define re register
using namespace std;
const int INF=0x7fffffff;
int cont;
struct node{
    int val,siz,cnt,ls,rs;
}tree[1000010];
int n,opt,xx;
inline void add(int x,int v)
{
    tree[x].siz++;
    if(tree[x].val==v){
        tree[x].cnt++;
        return ;
    }
    if(tree[x].val>v){
        if(tree[x].ls!=0)
          add(tree[x].ls,v);
        else{
            cont++;
            tree[cont].val=v;
            tree[cont].siz=tree[cont].cnt=1;
            tree[x].ls=cont;
        }
    }
    else{
        if(tree[x].rs!=0)
          add(tree[x].rs,v);
        else{
            cont++;
            tree[cont].val=v;
            tree[cont].siz=tree[cont].cnt=1;
            tree[x].rs=cont;
        }
    }
}
int queryfr(int x, int val, int ans) {
    if (tree[x].val>=val)
    {
        if (tree[x].ls==0)
            return ans;
        else
            return queryfr(tree[x].ls,val,ans);
    }
    else
    {
        if (tree[x].rs==0)
            return tree[x].val;
        return queryfr(tree[x].rs,val,tree[x].val);
    }
}
int queryne(int x, int val, int ans) {
    if (tree[x].val<=val)
    {
        if (tree[x].rs==0)
            return ans;
        else
            return queryne(tree[x].rs,val,ans);
    }
    else
    {
        if (tree[x].ls==0)
            return tree[x].val;
        return queryne(tree[x].ls,val,tree[x].val);
    }
}
int queryrk(int x,int rk)
{
    if(x==0) return INF;
    if(tree[tree[x].ls].siz>=rk)
        return queryrk(tree[x].ls,rk);
    if(tree[tree[x].ls].siz+tree[x].cnt>=rk)
        return tree[x].val;
    return queryrk(tree[x].rs,rk-tree[tree[x].ls].siz-tree[x].cnt);
}
int queryval(int x,int val)
{
    if(x==0) return 0;
    if(val==tree[x].val) return tree[tree[x].ls].siz;
    if(val<tree[x].val) return queryval(tree[x].ls,val);
    return queryval(tree[x].rs,val)+tree[tree[x].ls].siz+tree[x].cnt;
}
inline int read()
{
    re int r=0;
    re char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9')
        ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9'){
        r=(r<<3)+(r<<1)+(ch^48);
        ch=getchar();
    }
    return r;
}
signed main()
{
    n=read();
    while(n--){
        opt=read();xx=read();
        if(opt==1) printf("%d\n",queryval(1,xx)+1);
        else if(opt==2) printf("%d\n",queryrk(1,xx));
        else if(opt==3) printf("%d\n",queryfr(1,xx,-INF));
        else if(opt==4) printf("%d\n",queryne(1,xx,INF));
        else{
            if(cont==0){
                cont++;
                tree[cont].cnt=tree[cont].siz=1;
                tree[cont].val=xx;
            }
            else add(1,xx);
        }
    }
    return 0;
}

相信你已经掌握了二叉搜索树的基本实现方法，也可以来尝试循环实现的BST：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#define pb push_back
const int N = 10010;
const int INF = 0x7fffffff;
inline int read() {
    int r = 0; bool w = 0; char ch = getchar();
    while(ch < '0' || ch > '9') w = ch == '-' ? 1 : w, ch = getchar();
    while(ch >= '0' && ch <= '9') r = (r << 3) + (r << 1) + (ch ^ 48), ch = getchar();
    return w ? ~r + 1 : r;
}
#define ls tree[x].son[0]
#define rs tree[x].son[1]
struct Node {
    int val, siz, cnt, son[2];
}tree[N];
int n, root, tot;
inline void add(int v) {
    if(!tot) {
        root = ++tot;
        tree[tot].cnt = tree[tot].siz = 1;
        tree[tot].son[0] = tree[tot].son[1] = 0;
        tree[tot].val = v;
        return ;
    }
    int x = root, last = 0;
    do {
        ++tree[x].siz;
        if(tree[x].val == v) {
            ++tree[x].cnt;
            break;
        }
        last = x;
        x = tree[last].son[v > tree[last].val];
        if(!x) {
            tree[last].son[v > tree[last].val] = ++tot;
            tree[tot].son[0] = tree[tot].son[1] = 0;
            tree[tot].val = v;
            tree[tot].cnt = tree[tot].siz = 1;
            break;
        }
    } while(true);//Code by do_while_true qwq
}
int queryfr(int val) {
    int x = root, ans = -INF;
    do {
        if(x == 0) return ans;
        if(tree[x].val >= val) {
            if(ls == 0) return ans;
            x = ls;
        }
        else {
            if(rs == 0) return tree[x].val;
            ans = tree[x].val;
            x = rs;
        }
    } while(true);
}
int queryne(int v) {
    int x = root, ans = INF;
    do {
        if(x == 0) return ans;
        if(tree[x].val <= v) {
            if(rs == 0) return ans;
            x = rs;
        }
        else {
            if(ls == 0) return tree[x].val;
            ans = tree[x].val;
            x = ls;
        }
    } while(true);
}
int queryrk(int rk) {
    int x = root;
    do {
        if(x == 0) return INF;
        if(tree[ls].siz >= rk) x = ls;
        else if(tree[ls].siz + tree[x].cnt >= rk) return tree[x].val;
        else rk -= tree[ls].siz + tree[x].cnt, x = rs;
    } while(true);
}
int queryval(int v) {
    int x = root, ans = 0;
    do {
        if(x == 0) return ans;
        if(tree[x].val == v) return ans + tree[ls].siz;
        else if(tree[x].val > v) x = ls;
        else ans += tree[ls].siz + tree[x].cnt, x = rs;
    } while(true);
}
int main() {
    n = read();
    while(n--) {
        int opt = read(), x = read();
        if(opt == 1) printf("%d\n", queryval(x) + 1);
        if(opt == 2) printf("%d\n", queryrk(x));
        if(opt == 3) printf("%d\n", queryfr(x));
        if(opt == 4) printf("%d\n", queryne(x));
        if(opt == 5) add(x);
    }
    return 0;
}