概率与期望：不要跳进赌徒心理的深坑！

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前言

作为一位退役老登，在做一道生物选择题时，发现以下表述：

额额额后半句不是我要谈论的重点，我们来想如下问题：

欸嘿，身为一名学过 OI 的蒟蒻，直觉告诉我根本不会有办法能够真正改变性别比例的期望。

这让我联想起赌徒心理，其本质就是被概率与期望掌控了。看如下问题：

作为一个 OIer，你会很快发现，正反面概率依旧均等，可是，当我们真的进入了赌的情境中，赌徒心理就会作祟，直觉会告诉我们最后一次总该是反面朝上了。

这篇文章将结合几个生动的例子展开与赌徒心理有关的讨论。

正文

三门问题：学会用“上帝视角”解决概率问题，辨识有效信息

如果你还不知道什么是三门问题，请你点我

这个问题和抛硬币可不一样。

额额额根据呕象的德性，我把情景改为呕象站在一扇门后，你要找到呕象站的门。

从上帝视角来看，游戏过程分为两步：

  1. 选手选门；
  2. 主持人打开没有呕象的一扇门，选手可以换一扇门。

如果只有第一步，三扇门是等价的，找到呕象的概率为 \frac{1}{3}。

但第二步的出现却出现了反直觉的结果：换门后找到呕象的概率飙升至惊人的 \frac{2}{3}，这是为什么？

重点在于信息。

没错，信息改变了局面。第一步已然发生，我们可以在此时站在上帝视角冷静思考：

那么概率就能上升了嘻嘻。

总的来看，第二步带来的信息是有效的。

赌徒心理

事实上，在一些外在因素的影响下，身体分泌的激素会让我们把一些无效的信息误认为是有效的。

比如开头提到的抛硬币问题，前 49 次的信息不会影响第 50 次的结果，这些信息是无效的。

有很多事情，所传递的信息都是无效的。

我们开篇提的问题：

这个问题就可以抽象成一个赌博问题：

设利润为 Y，你可能想过或者听过如下策略：

  1. 一直参加（投注为 1），直到赢了一把立刻停止。
  2. 一直参加（投注为 1），直到 Y>0 了立刻停止。
  3. 第一次投入 1 金币，如果失败，则投入之前所有投入的总量的两倍，直到赢了一把，立刻停止。

看起来可能都或多或少有点道理，但他们本质都是把硬币问题中的类似信息误认为有效信息，实则这些信息都是无效的：

从上帝视角看，这种策略的金币数变化会有如下可能：

那么期望 E(Y)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} (2-n)\frac{1}{2^n}=2-2=0。

这个信息的无效性还是很明显的，和扔硬币一模一样。

哇这个怎么看起来 E(Y)=1 呢，因为结果总是 Y>0。

这是经典的赌徒心理：回本了就跑路。

但是回本的概率根本不是 1，我们可以用学过的走格子法来量化：

可以用反射容斥量化这个概率，然后求和后发现概率其实是 <1 的，在我们尝试回到 0 的时候也可能会输得更多。

这是看起来最合理的办法，赢的概率可是 \sum \frac{1}{2^n}=1。

可以明白赢的概率确实非常大，但是次数越小，利润越小，次数越高，成本越高。

现实生活中，我们的经济能力有限，那么这种方法一旦超过我们的经济能力，将会直接破产。

哎呀，反正用屁股都能想到怎么来期望都是 0，而赌徒心理就是要在输的时候想赢回来，赢的时候想赢的更多，不过在这种情况下赌徒心理的危害不能够体现的透彻。

启示（这其实才是呕象要写的正文）

无论如何，玩过的游戏是既定的事实，未玩的游戏是被期望掌控的未知，我们永远不可能找到一种在数学意义上稳赚不赔的方法，经营类博彩业的门店只需要稍稍得调一下这个获胜的概率，比如调成 \frac{2}{5}，那么顾客的利润期望值必然是负数，这是一个商家必胜的大坑。

那么顾客就会因为各种原因跳进这个大坑，非常有效且强大的一种心理学及数学方法就是：

生活中我们面对的不仅仅是赌徒问题，还有很多隐藏的三门问题，这有时比纯靠概率的赌徒问题更为恐怖，因为这有着一个非常致命的现象：

你很可能也是幸存者效应的受害者

只要样本够大，胜负的分布就会无限接近于概率，商家要做的就是不断扩大样本数量，只找出获利的那些顾客，用各种方法让其它顾客获得这些无效信息，这样顾客就会误判获胜的概率，从而误判利润的期望，加入这场“顾客必败”的游戏。

典型的例子：

信息差无处不在，不要跳进你看不清的河流

如果三门问题变为：

那么乙将获得优势，如果进行很多次，乙必将遥遥领先。

没错，在很多事情上，你就是那个甲，例子如下：