题解 SP22 【TRICENTR - Triangle From Centroid】
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题解
最初于2019-07-12 20:37:59发表。
编辑于2021-10-19。删了很多废话。
我的博客
这里有几个关于重心，垂心的定理：→GA+→GB+→GC=→0(1)；
$GA=2GZ(3)$；
其中 $G$ 是重心， $Z$ 是 $BC$ 的中点， $P$ 是任意点，自然也可以是垂心。这几个定理可以大大减少计算量。或者说，没这几个定理根本算不出来。
那个箭头是向量符号，我不会打没办法。
另外我们从学向量就知道，建系是一种极其好用的方法，可以解决掉$80%$以上的向量题。
于是我们思路就出来了。接下来我将一步步进行计算。
先画一个三角形。如图（1）：
$BC=a$ ，设 $Ga=l,Gb=m,Gc=n$ ，含义如题。这些已知。再设 $b,c,xg,yg,xa,ya$ ，含义同上。
以 $C$ 为原点， $CB$ 为 $x$ 正半轴建立直角坐标系，得 $C(0,0),B(a,0)$ ;
由（3），显然 $yg=l,ya=3l.
由（1）， →GA=(xa-xg,2l),→GB=(a-xg,-l),→GC=(-xg,-l) ;
即 a+xa=3xg,xa=3xg-a ;
那么现在只剩 $xg$ 一个未知数了，可以再列个方程：
直线 AC 解析式：$\frac{3l}{a-3xg}·x+y=0$;
由两点间距离公式， $Gb=m=\frac{|l+\frac{3xgl}{a-3xg}|}{\sqrt{1+(\frac{3l}{a-3xg})^2}}$,即$m^2=\frac{a^2l^2}{9l^2+(a-3xg)^2}$.
得 $3xg-a=±\sqrt{\frac{a^2l^2}{m^2}-9l^2}$;
这儿有个正负号。怎么办？
看看图就好了。显然根号为非负，因此±取正或取负问题即 A 点 x 坐标正负问题。显然，由 cos 定理 $∠C<\pi/2$,即$\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}>0$ 时 $xa>0$ .故代码加入一行讨论：
```cpp
if(a*a+b*b-c*c<0)
xa=-xa;
```
即 $xa=±\sqrt{\frac{a^2l^2}{m^2}-9l^2},xg=a/3±(\sqrt{\frac{a^2l^2}{m^2}-9l^2})/3$ 且与 $xa$ 同号。为方便表示（正负号懒得打），以下将 $xa,xg$ 看作已知量。
则由勾股定理， $b=\sqrt{xa^2+9l^2}=al/m;$ 由对称性： $c=al/n$.
三边知道求面积，有海伦-秦九韶公式： $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},p=(a+b+c)/2$.
由海伦-秦九韶， $p=(a+al/m+al/n)/2,S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.
先把 S 输出来，发现是对的，说明我前面的推导没问题。很好！可是还有个大麻烦，我们还要求重心到垂心的距离。图（2）：
思路大同小异.
设 $H(x,y)$ （变量名有点草率）；
易得 $→HA=(xa-x,3l-y),→HB=(a-x,-y),→HC=(\frac{xa+a}{3}-x,l-y)$;
进行向量计算，得 $(xa-x)(a-x)+y(y-3l)=x(x-a)+y^2=x(x-xa)+y(y-3l)$;
千万不要同时除以 $(xa-x)$ ,因为 H 是垂心，显然 x 是等于 xa 的。
按这个思路去解，得 $x=xa,y=\frac{a·xa-xa^2}{3·l}$.
故 $HG=\sqrt{((a-2·xa)/3)^2+(l-\frac{a·xa-xa^2}{3·l})^2}$.
这样就算完可以输出了。反正是电脑来计算，结果多复杂都没事。
我推了两次，代码是第一次写的，以上的推导过程是由于之前的思路太混乱，重新独立推导得到的，细节上和代码思路可能有出入，但应该都是正确的。如发现错误请务必指出，万分感谢。
代码：
```cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
int t;
cin>>t;
while(t--)
{
double a,l,m,n;
cin>>a>>l>>m>>n;
double b=a*l/m,c=a*l/n;
double p=(a+b+c)/2;
printf("%.3lf ",sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)));
//面积
double xa=sqrt(a*a*l*l/m/m-9*l*l);
if(a*a+b*b-c*c<0)
xa=-xa;
double xg=a/3+xa/3,yg=(a*xa-xa*xa)/3/l;
printf("%.3lf\n",sqrt((xg-xa)*(xg-xa)+(l-yg)*(l-yg)));
//HG距离
}
return 0;
}
```
（完）