题解 P4299 【首都】

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Update:原来的洛谷U21715已成坑qwq

已经被某位管理员巨佬放进公共题库啦！又可以多一个AC记录啦！

说不定用的是蒟蒻的数据呢，看看P4299的和U21715的两个记录，像是没什么区别。

那就直接从博客题解（扌汇）过来吧qwq（这个字居然乱码？！）

思路分析

动态维护树的重心

题目中说到国家的首都会选在某个使得其他城市到它距离之和最小的城市，那不就是树的重心了嘛。树的重心性质真的很好，看看wuhulala巨佬的这篇博客。

维护子树信息是不会少的。在此基础上，网上大多数解法都是启发式合并。利用了以重心为根的子树大小不超过原树的一半，每次合并两颗树的时候，小的往大的上面合并，而且是一个点一个点地link上去，每次link完检查一下这个子树如果超过了当前整个树大小的一半，就把重心向当前点移动一下。这样做，合并次数上限O(N\log N)，每次更新重心也需要O(\log N)的复杂度，所以复杂度极限是O(N\log^2N)，还不够优秀。

因此我就想再优化一下算法。复杂度瓶颈就在于一个一个link，能不能考虑直接连接两颗树对重心的影响呢？

答案是肯定的。又要用到一个性质——连接两颗树后，新的重心一定在原来的两个重心的路径上。这个证明不难，反证一下就好了。

那就可以直接link然后把链提出来去找了。我们当然不能把整条链全找遍了，毕竟重心的性质那么多，也要好好利用嘛。

(下面s和si的定义和蒟蒻的LCT总结中是一样的）

具体找法：类似树上二分，我们需要不断逼近树的重心的位置。记下lsum表示当前链中搜索区间左端点以左的子树大小，rsum表示右端点以右的。x的整个子树就表示了当前搜索区间，在中序遍历中x把搜索区间分成了左右两块（在Splay中对应x的左子树和右子树）。

如果x左子树的s加上lsum和x右子树的s加上rsum都不超过新树总大小的一半，那么x当然就是重心啦！当然，如果总大小是奇数，重心只会有一个，那就找到了。否则，因为必须编号最小，所以还要继续找下去。

当我们没有确定答案时，还要继续找下去，那么就要跳儿子了。x把整个链分成了左右两个部分，而重心显然会在大小更大的一部分中，这个也应该好证明。如果x左子树的s加上lsum小于x右子树的s加上rsum，那就跳右儿子继续找。这时候当前搜索区间减小了，搜索区间以外的部分增大了，lsum应该加上si[x]+1。反之亦然。如果跳进了空儿子，那肯定所有情况都考虑完了，直接结束查找。

当然，重心找到了就还是要伸展一下，保证复杂度。（蒟蒻造数据的时候懒得去卡了qwq）

这一部分套用Splay的复杂度，是均摊O(\log N)的，总复杂度也就降到了O(N\log N)。

findroot实在很慢，于是可以写个并查集来维护每个点所在树的重心。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#define R register int
#define I inline void
const int N=100009,INF=2147483647;
int f[N],c[N][2],si[N],s[N],h[N];
bool r[N];
#define lc c[x][0]
#define rc c[x][1]
inline bool nroot(R x){return c[f[x]][0]==x||c[f[x]][1]==x;}
I pushup(R x){
    s[x]=s[lc]+s[rc]+si[x]+1;
}
I pushdown(R x){
    if(r[x]){
        R t=lc;lc=rc;rc=t;
        r[lc]^=1;r[rc]^=1;r[x]=0;
    }
}
I pushall(R x){
    if(nroot(x))pushall(f[x]);
    pushdown(x);
}
I rotate(R x){
    R y=f[x],z=f[y],k=c[y][1]==x,w=c[x][!k];
    if(nroot(y))c[z][c[z][1]==y]=x;
    f[f[f[c[c[x][!k]=y][k]=w]=y]=x]=z;pushup(y);//为三行rotate打call
}
I splay(R x){
    pushall(x);
    R y;
    while(nroot(x)){
        if(nroot(y=f[x]))rotate((c[f[y]][0]==y)^(c[y][0]==x)?x:y);
        rotate(x);
    }
    pushup(x);
}
I access(R x){
    for(R y=0;x;x=f[y=x]){
        splay(x);
        si[x]+=s[rc];
        si[x]-=s[rc=y];
        pushup(x);
    }
}
I makeroot(R x){
    access(x);splay(x);
    r[x]^=1;
}
I split(R x,R y){
    makeroot(x);
    access(y);splay(y);
}
I link(R x,R y){
    split(x,y);
    si[f[x]=y]+=s[x];
    pushup(y);
}
int geth(R x){
    if(h[x]==x)return x;
    return h[x]=geth(h[x]);
}
inline int update(R x){
    R l,r,ji=s[x]&1,sum=s[x]>>1,lsum=0,rsum=0,newp=INF,nowl,nowr;
    while(x){
        pushdown(x);//注意pushdown
        nowl=s[l=lc]+lsum;nowr=s[r=rc]+rsum;
        if(nowl<=sum&&nowr<=sum){
            if(ji){newp=x;break;}//剪枝，确定已经直接找到
            else if(newp>x)newp=x;//选编号最小的
        }
        if(nowl<nowr)lsum+=s[l]+si[x]+1,x=r;
        else         rsum+=s[r]+si[x]+1,x=l;//缩小搜索区间
    }
    splay(newp);//保证复杂度
    return newp;
}
#define G ch=getchar()
#define gc G;while(ch<'-')G
#define in(z) gc;z=ch&15;G;while(ch>'-')z*=10,z+=ch&15,G;
int main(){
    register char ch;
    R n,m,x,y,z,Xor=0;
    in(n);in(m);
    for(R i=1;i<=n;++i)s[i]=1,h[i]=i,Xor^=i;
    while(m--){
        gc;
        switch(ch){
            case 'A':in(x);in(y);link(x,y);
                split(x=geth(x),y=geth(y));//提出原重心路径
                z=update(y);
                Xor=Xor^x^y^z;
                h[x]=h[y]=h[z]=z;//并查集维护好
                break;
            case 'Q':in(x);printf("%d\n",geth(x));break;
            case 'X':gc;gc;printf("%d\n",Xor);
        }
    }
    return 0;
}