题解：P11391 [COCI 2024/2025 #1] 疑惑 / Zbunjenost

Purslane · 2024-12-12 15:36:36 · 题解

Solution

显然，每一个合法的简单回路必定对应三角剖分中的一个子多边形，如图所示。

观察发现，他是若干个联通的三角形的并。

考虑把相邻的三角形当做点，在相邻三角形之间连边，本质上就是求联通块的个数。

注意到三角剖分一定对应了一棵树（归纳易证），因此就是无聊的树形 DP。

如何求三角剖分？直接枚举所有相邻边即可！

复杂度 O(n \log n)。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define ffor(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define roff(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
using namespace std;
const int MAXN=2e5+10,MOD=1e9+7;
int n,tot,bl[MAXN],ans,dp[MAXN];
vector<int> G[MAXN],T[MAXN];
int dis(int i,int j) {
    if(j>=i) return j-i;
    return j+n-i;   
}
void dfs(int u,int f) {
    dp[u]=1;
    for(auto v:T[u]) {
        if(v==f) continue ;
        dfs(v,u),dp[u]=(dp[u]*(dp[v]+1))%MOD;
    }
    ans=(ans+dp[u])%MOD;
    return ;
}
signed main() {
    ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>n;
    map<pair<int,int>,int> mp;
    ffor(i,1,n) G[i].push_back(i%n+1),G[i%n+1].push_back(i);
    ffor(i,1,n-3) {
        int x,y;
        cin>>x>>y;
        G[x].push_back(y),G[y].push_back(x);
        mp[{x,y}]=mp[{y,x}]=i;
    }
    ffor(i,1,n) {
        sort(G[i].begin(),G[i].end(),[&](int A,int B) {return dis(A,i)<dis(B,i);});
        ffor(j,0,G[i].size()-2) {
            int u=i,v=G[i][j],w=G[i][j+1];
            if(u<=v&&u<=w) {
                ++tot;
                int id1=mp[{u,v}],id2=mp[{u,w}],id3=mp[{v,w}];
                if(id1) {
                    if(bl[id1]) T[tot].push_back(bl[id1]),T[bl[id1]].push_back(tot);
                    else bl[id1]=tot;   
                }
                if(id2) {
                    if(bl[id2]) T[tot].push_back(bl[id2]),T[bl[id2]].push_back(tot);
                    else bl[id2]=tot;
                }
                if(id3) {
                    if(bl[id3]) T[tot].push_back(bl[id3]),T[bl[id3]].push_back(tot);
                    else bl[id3]=tot;
                }
            }
        }
    }
    dfs(1,0);
    cout<<ans;
    return 0;
}