我的一 Abel 群朋友

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本文同步投稿于某帅气的哥群周刊第八刊。

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大家好啊我是矩阵群喵。

……诶诶你说标题是不是不太对的说，应该是「我的一群……朋友」来着的捏？不过既然都是 Abel 群的话，应该交换一下也没什么问题的呐。（不过矩阵群自己也不是 Abel 群的来着……）

总而言之，这篇文章就是讲，在三维空间的此处，和「群」居之境的彼方，矩阵群的 Abel 群朋友（存疑）们的介绍的喵。

在大家生活着的世界中，应该经常能见到循环群的身影吧。只是不知道你是对 \Z，也就是整数加法群，更加熟悉呢，还是觉得 \Z/n\Z，也就是整数模 n 加法群，更加亲切呢。……我猜是 \Z/n\Z 吧？毕竟这个世界里好像用到负数，一般都已经涉及到实数上的问题了呢。（没记错的话你们应该也是先接触了实数再知道的负数来着？）而有限循环群看起来就更接地气：前后几天的星期计算，十二平均律的升调降调……可以说，有「循环」的地方，就有循环群在幕后默默守护着呢。

循环群在那里也是大明星般的存在。毕竟任何有限生成 Abel 群都可以写成若干循环群的直积呢。（当然，即使不是 Abel 群的话，也能在循环群里看到自己的影子呢。）正因如此，素数幂阶循环群，更特别是素数阶循环群，会更加知名。（当然，还有 \Z……不过 \Z 受欢迎可不只是因为这个！）说起来矩阵群小时候听说过 \Z/998\,244\,353\Z 有一些「某个世界」的朋友……果然是这样的呢（笑）。值得一提的是，\Z/1\,048\,575\Z 也是矩阵群的知己呢。猜猜看为什么？

……不过，只是循环，一个元素就能生成的群，未免有些平淡了吧。

你应该知道「某个世界」说的是什么了吧……那就来说说 (\Z/2\Z)^n吧？如果是读到这篇文章的你一定很熟悉了——换个名字，n 个比特的模 2 加法，“异或”？虽然在日常生活中见得不多，但是这个世界可离不开它——比如说，纠错码。从最简单的奇偶校验，到 Hamming 码，再到 Reed-Solomon 码……等等 Reed-Solomon 码是不是更复杂来着？

是啊，Galois 域。这也是矩阵群和 (\Z/2\Z)^{20} 成为好朋友的契机——托 \mathbb{F}_{2^{20}} 的福。正是这样，(\Z/2\Z)^n 比 \Z/2^n\Z 更有一种资历深厚的前辈形象。（当然也很温柔啦。）或者说，(\Z/p\Z)^k，以每位模 p 的不进位加法，构建出的有限的「初等 Abel 群」们，都大概是这样的呢。传闻有时这些群会摇身一变，展现出 \mathbb F_p 上线性空间的特点。听说那样的场景会很美丽呢，不过矩阵群也只是听说了啦。……什么可逆线性变换，什么线性无关向量？矩阵群不知道的说。

……即使只是加法，即使在有限的世界里，也能向着每一维进发，就可以了吧……？

说到循环群的幂，当然不得不提的就是 \Z^n 啦。如果是你的话，应该再熟悉不过了吧？n 维整数向量，或者说就是数组嘛。如果维数比较小，你可能更喜欢称其为“网格”——无限大二维网格上的各种路径计数问题应该已经做够了吧。还有随机游走——是不是，\Z^2 里沿着网格线均匀随机游走就有 100\% 的概率回到原点，但是三维就不是了来着……（果然只是在，妄想着永不分离的梦啊。）诶呀话说回来，\Z^n 也是很重要的呢。比如说格，不就是同构于 \Z^k 的东西嘛，而且一般只用整数的话其实就是 \Z^n 的子群了啦。你说不定听说过格可以用来卡哈希的事情。实际上，格在密码学领域也有很大的作用呢……

说起来，不知道你是否知道，\Z^n 其实是「自由」Abel 群的呢。（每个自由 Abel 群都同构于若干 \Z 的直和，不过也可以是无限个来着……）虽然不像自由群那样完全不受束缚，但 Abel 性反而使其结构更加清爽了——正因此比起自由群，矩阵群更喜欢自由 Abel 群的呢。听说每个自由 Abel 群，都可以别的 Abel 群，产生共鸣，特别是存在一组生成元数量不超过其基的大小的群呢。对矩阵群来说，就是有一种知心大姐姐的形象呢。矩阵群有时也会羡慕这点的呐。

……但是比起「自由」，拥有自己独特的结构，其实才是矩阵群真正想要的东西呢。

说到 Abel 群，大家都喜欢说“加法”不是“乘法”呢。那就再来说点普通的加法群吧！比如 \mathbb Q（有理数）、\mathbb R（实数）、\mathbb C（复数）什么的。从小学，到初中，再到高中等等，比起抽象的符号，「数」大概是初学数学时的你会更熟悉、更喜欢的东西吧？不过如果只是加法群的话，\mathbb C 也不过就是 \mathbb R^2 了啦……啊，那就把 \mathbb R^n 也带进来吧。实数的向量，应该也见了不少的吧？现在的你应该就生活在 \mathbb R^3——如果算上时间维度，那就是 \mathbb R^4——的世界里吧。不过这个世界的生活中，\mathbb R 大概也没有展现它的全貌吧——毕竟现实中的测量精度是有上限的啦。

作为可除、无挠的 Abel 群，这些加法群都可以看作是 \mathbb Q 上的线性空间呢……诶，那你可能会问， \mathbb R 和 \mathbb R^n 还有什么区别，都是 \mathbb Q 上 \mathfrak c 维的线性空间，随便找个基的一一对应就可以构造同构了来着？好吧这个其实是依赖于选择公理来着的，Ha 基 mel你这家伙……这也是一方面为什么 \mathbb R 总是有一种神秘感呢。不过虽然说 \mathbb R 也因此比较内向，不过和真正聊得来的关系也不错呢。什么你问矩阵群是怎么知道的喵？因为向 GL(n,\mathbb R)们问过关于 \mathbb R 的事情了啦。相比之下，\mathbb Q 就很自来熟的呢……

不过，无挠，大概也意味着，不断叠加，而一去不复返的日子吧……

唔，刚才好像谈及了三个域的加法群呢。乘法群的话，会更有趣一些吗？有理数的乘法无非就是拆成素数幂的积再外加一个正负号，实数去掉正负号也就是取个对数就是到实数加法了……诶，复数的话呢？复数的乘法，就是模长相乘，幅角相加。实数相乘说过了，幅角的话……啊，二维旋转组成的，也就是二维正交群 SO(2)！如果你高兴的话，也可以看作圆群，或者说 U(1)或 \mathbb R/\Z 什么的……SO(2) 在这个世界的生活中也经常出现呢——首先，平面上的「旋转」应该是能见到的吧？再者，从 \mathbb R/\Z 的角度看，也能体现出循环的特性呢——毕竟 \mathbb R/\Z 不过就是实数加法，只是取小数部分嘛。比如，一天的时间之类的，连续而周期的变化。说起来这好像就是在钟面上旋转呢……

所有循环群（包括 \Z）都很喜欢 SO(2) 呢。\mathbb R 也和 SO(2) 关系挺好，还有 GL(2,\mathbb R)——矩阵群就是从 GL(2,\mathbb R) 那里知道了很多 SO(2) 的故事呢。不过据说 SO(2) 对被更高阶的特殊正交群孤立这种事情挺烦恼的呢……

圆，周期而规律的闭环——开始，也是结束。

唔，不过如果只有 Abel 群的话，还是太平淡了呢。——你问矩阵群从什么角度得出这样的结论的？嘛，是「矩阵群」的话，当然是说群表示了啦。在复数域中，Abel 群的（有限维）不可约表示，只能是一维的呢。不过篇幅有点不够了，关于非 Abel 群们的故事，下次再聊吧。

希望通过这篇文章，你也能更多地了解，代数之境抽象的美丽色彩呢。