枚举平行于 y 轴和 z 轴的平面（下称平面 x）的位置。和平面 x 有交的矩形就不用考虑了，和它无交的矩形就必须和平面 y 和平面 z 之一有交。平面 x 在移动的过程中，即平面 x 的 x 坐标在从 -\infty 变化到 \infty 的过程中，每个矩形和平面 x 有交的时间是连续的一段。在这段时间外，这个矩形必须和平面 y 或平面 z 有交，即 y_{\min} \leq y\leq y_{\max} 或 z_{\min}\leq z\leq z_{\max}，其中 y_{\min} 为矩形 y 坐标最小值，y_{\max} 为矩形 y 坐标最大值，z_{\min} 和 z_{\max} 类似，y 为平面 y 的 y 坐标，z 为平面 z 的 z 坐标。画在 x 平面上，就是 y 平面在 x 平面上的投影（一条平行于 y 轴的直线）和 z 平面在 x 平面上的投影（一条平行于 z 轴的直线）的交必须在以矩形为中心的红十字形状内。也就是二维版的本问题。
在二维版的本问题中，要判断的其实是每个矩形对应的红十字形状的交是否为空。我们取红十字形状的补集，即左上，右下，左下，右上 4 个不封闭矩形区域。所有矩形的左上区域的并构成了左上的一条轮廓线，其它 3 个角类似，这 4 条轮廓线外的区域即为所有红十字形状的交。如果要判断交是否为空，可以先将 y 和 z 坐标的范围限制为 [-M,M]（M 为本题坐标范围），为每个 y 坐标计算该 y 坐标上（上=on， 不是 above）有多少 z 坐标位于轮廓线外。对于一个 y 坐标，在这个 y 坐标上的 z坐标其实有两个下界和两个上界，分别由左上左下右上右下轮廓提供，下界取较大的生效，上界取较小的生效。
在三维版本的问题中，我们要维护上述 4 条轮廓线，同时维护每个 y 坐标上有多少 z 坐标位于轮廓线外。我们将所有 y 坐标按照 z 坐标的下界和上界由谁提供分为 4 类（下界可能由左上或者左下轮廓提供，上界则由右上或者右下轮廓提供）。每一类用一棵线段树维护上下界的差。为了方便每一类的线段树都包含每个 y 坐标。线段树支持查询是否有大于 0 的元素。当轮廓线修改时，每段修改可用线段树区间加操作实现（等下会讲有多少修改）。由于轮廓线都是单调的，肯定 y 坐标较大的部分由左上提供下界，较小的部分由左下提供。如果我们能维护一个轮廓线端点的 set，则可以在 set 上二分出左上和左下轮廓相交的位置。右侧类似。这样我们就得到了每一类的 y 坐标区间。在区间上，在对应类别的线段树里查询是否有非 0 位置即可。
最后是轮廓线端点的 set 维护。一个点在轮廓线上出现或消失的事件只能有常数个：它自己的长方体被平面 x 扫过的开始和结束是两个事件。它可能被别的轮廓线端点挡住，仅在挡住它的轮廓线端点消失时能露出来。所有挡住它的轮廓线都消失的 y 坐标的集合是一个区间（因为每个轮廓线端点消失的时间都是个区间，取这些区间的交），这个区间也只能生成 2 个事件。所以一个点在轮廓线上出现或消失的事件只能有常数个。我们只要把这些事件处理出来，到对应的时间在 set 中加入或删除对应端点即可。加入和删除的时候要更新 4 棵线段树。