B4238 [海淀区小学组 2025] 分数方程

· · 题解

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本题考察数学。

首先判断无解的情况，当 n=1 的时候，\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = \dfrac{2}{n} 无解。

对于其他情况，看到方程 \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}=\dfrac{2}{n} 这个较为复杂的方程，我们肯定会想着把方程变得简单。最简单的情况下设 x=n，则方程转化为 \dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{n}。

通分可得：\dfrac{y+z}{yz}=\dfrac{1}{n}，即 n(y+z)=yz。

移项可得：ny+nz-yz=0，为便于因式分解，两边同时加上 n^2，为 ny+nz-yz+n^2=n^2。

从而得到：

(y-n)(z-n)=n^2

由于 n^2=n^2\times 1，因此令 y-n=1，z-n=n^2，即 y=n+1，z=n^2+n 符合题意。从而我们有以下这一组方程恒定成立：

\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{2}{n}

此时：

\begin{cases}x=n \\ y=n+1 \\ z= n(n+1)\end{cases}

如果你不会因式分解，由于答案的形式是很简洁的，你也可以通过尝试配凑得到这一组答案。