不等式2_柯西与权方和不等式

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柯西与权方和不等式，也是一个有力的工具。

:::info[info] 标红的是本蒟蒻认为不是很套路的题目（这当然是相对的，毕竟什么题目做过之后你都会觉得是套路，所以不要嘲笑蒟蒻的选题啦），标灰的是已经本文已经出现过套路的题。全文纯手打，无 AI，已经过 3.1p 检验。部分题目来自 zhihu-刘金唐。 :::

考虑有两个 n 维向量 \vec x, \vec y，我们知道 \vec x \cdot \vec y \le |x|\,|y|，如果用数值表示，就是柯西不等式：

\left(\sum_{i = 1}^n x_i \,y_i \right)^2 \le \left(\sum_{i = 1}^n x_i ^ 2 \right)\left(\sum_{i = 1}^n y_i ^ 2 \right)

:::info[关于为什么 \vec x \cdot \vec y 的两种定义等价？] 想了想是这样，考虑一个高维坐标系中的一个三角形，由余弦定理我们知道，\cos \theta = \dfrac{|\vec x| ^ 2 + |\vec y| ^ 2 - |\vec x - \vec y| ^ 2}{2|\vec x||\vec y|}，对其进行每一维展开，并带回原式即可看出两种定义是等价的。

这也说明了等号成立的条件是 \vec x // \vec y。

不过询问 3.1p 后，他告诉我正是柯西不等式的存在才保证了余弦定理在高维中的成立，柯西不等式的证明可以用到纯代数做法，这里不做说明。 :::

常见的二维形式：(ax + by)^2 \le (a ^ 2 + b ^ 2)(x ^ 2 + y ^ 2)。

:::info[如果指数不为 2 呢？] 他叫赫尔德不等式：

\sum_{i = 1}^n x_i y_i \le \left(\sum_{i = 1}^n x_i ^ p \right) ^ {1/p}\left(\sum_{i = 1}^n y_i ^ q \right) ^ {1/q}

取等条件，存在常数 \alpha。对于任意一项，有：\alpha = \dfrac{x_i ^ p}{y_i ^ q}。

不会考，不会证。 :::

这个是权方和不等式，也称 titu 引理，她（有时能）减少你配的时间：

\sum_{i = 1}^ n \dfrac{x_i ^ 2}{y_i} \ge \dfrac{(\sum_{i = 1}^ n x_i) ^ 2}{\sum_{i = 1}^ n y_i}

:::info[证明] 进行代数变形即可。 :::

:::info[一些大概率不会用到的高次拓展] 广义柯西不等式： 若有 k 组非负实数列 a_e，则：

\left( \sum_{i=1}^n a_{1,i} a_{2,i} \dots a_{k,i} \right)^k \leq \left( \sum_{i=1}^n a_{1,i}^k \right) \left( \sum_{i=1}^n a_{2,i}^k \right) \dots \left( \sum_{i=1}^n a_{k,i}^k \right)

取等条件：任意两序列对应元素比值相等（看成向量的话就是这一堆向量全部平行）。

对应的广义权方和不等式：

\sum_{i=1}^n \frac{a_{i}^k}{b_{1,i} b_{2,i} \dots b_{k-1,i}} \geq \frac{\left( \sum_{i=1}^n a_i \right)^k}{\left(\sum_{i=1}^n b_{1,i}\right) \left(\sum_{i=1}^n b_{2,i}\right) \dots \left(\sum_{i=1}^n b_{k-1,i}\right)}

取等条件：看成向量的话，就是 a 与 b_e 一堆全部平行。

他们也是可以互相推导的，不过这 sigma 怎么这么小，我就不写成 \prod 形式了，那样对我来说理解起来很困难，而且这样也能看出常见的二元形式吧。

证明自行询问 AI 吧，好长一串呢，其实是我不会。 :::

:::info[解法] 这种题型的核心是凑。 题目转化为 $a_1^2 + (a_1 + 18d) ^ 2 = 10,\ S_{10} = (2a_1 + 9d) \times 5$。 观察二维形式，我们想到可以让 $(a ^ 2 + b ^ 2)$ 全部视为常数来达到我们的目的，所以我们将 $a,b$ 视为系数，$x, y$ 视为变量，用 $a_i$ 和 $(a_1 + 18d)$ 线性组合出 $2a_1 + 9d$。 然后得到 $2a_1 + 9d = \dfrac{3}{2} a_1 + \dfrac{1}{2} (a_1 + 18d) \le \sqrt{((3/2)^2 + (1/2)^2)(a_1^2 + (a_1 + 18d) ^ 2)} = 5

所以 S_{10} \le 25。 :::

:::info[解法] 也是凑，注意不等式方向能让我们知道应当用哪边当基底。注意到我们要用约束凑出 $f(x, y)$ 后，再注意我们要什么：$xy, x, y$，这都是约束中现成的材料，但如果约束中 $xy$ 没有消掉的话就会多出一个 $\sqrt{xy}$ 让我们难堪，所以果断合并为 $(x + 2y) ^ 2 + 4 x ^2 y ^ 2 = 32$。然后就做完啦。 答案是 $16$。 ::: --- $\color{grey}\text{P1.2}$：已知 $x, y > 0, \ x^2 + \dfrac{1}{2}y^2 = 1,\ f(x, y) = x + \sqrt{2 + 3 y^2}$，求 $f(x, y)_{\max}$。 :::info[解法] $a = 1,\ b = \sqrt 6$，答案是：$\dfrac{2\sqrt{21}}{3}$。 补药问我为什么挑这么多同类题，因为这东西不写足够同类题手不熟... ::: --- $\color{grey}\text{P1.3}$：已知 $x\in[5,6],\ f(x) = \sqrt{x - 5} + 2 \sqrt{6 - x}$，求 $f(x, y)_{\max}$。 :::info[解法] $\sqrt 5$。 ::: --- $\color{grey}\text{P1.4}$：已知 $x,y > 0,\ 3x^2 + 2 y ^ 2 = 6,\ f(x, y) = 2x + y$，求 $f(x, y)_{\max}$。 :::info[解法] $\sqrt {11}$。 ::: --- $\text{P2}$：已知 $x, y\ge 0, \ x + y\le 1,\ f(x, y) = 4x ^ 2 + 4 y ^ 2 + (1 - x- y)^2$，求 $f(x, y)_{\min}$。 :::info[解法] 另一种很刻意的套路。仍然观察不等式方向，把 $f$ 放在右边就好了，不会凑可以看下一题的解答。 答案是 $\dfrac{2}{3}$。 ::: --- $\text{P2.1}$：已知 $x, y > 0, \ \sqrt{2x + 2} + \sqrt{2y + 3} = 4,\ f(x, y) = x + y$，求 $f(x, y)_{\min}$。 :::info[解法] 这里详细讲讲应该怎么凑吧，首先，根据不等号方向列出式子： $$ (x + y)(\cdots) \ge (\sqrt{2x + 2} + \sqrt{2y + 3}) ^ 2 $$ 然后，由于是根号，我们先尝试让左边和右边相同（改变左边）： $$ \left(\dfrac{1}{2}(2x + 2) + \dfrac{1}{2}(2y + 3)\right) (2 + 2) \ge 4 ^ 2 $$ 然后得到答案 $\dfrac{3}{2}$。 如果变量系数不一样那就配成一样，见 $\text{P2.2}$。 ::: --- $\color{grey}\text{P2.2}$：已知 $x, y, z > 0, \ x + y + z = 1,\ f(x, y, z) = \sqrt{2x + 1} + \sqrt{2y + 1} + \sqrt{3z + 1}$，求 $f(x, y, z)_{\max}$。 :::info[解法] $\dfrac{7\sqrt 3}{3}$。 ::: --- $\text{P2.3}$：已知 $x, y, z > 0, \ x + y + z = s,\ f(x, y, z) = \dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{y} + \dfrac{c}{z}$，求 $f(x, y, z)_{\min}$。 :::info[解法] 基本不等式也可做。 依旧反向不等式，得到答案为 $\dfrac{(a^\frac{1}{2} + b^\frac{1}{2} + c^\frac{1}{2})^2}{s}$。 ::: --- $\text{P3}$：已知 $x, y, z > 0, \ f(x, y, z) = \dfrac{x + y + z}{\sqrt{x^2 + 2 y ^ 2 + 4 z ^ 2}}$，求 $f(x, y, z)_{\max}$。 :::info[解法] 令 $k = f(x, y, z)_{\max}$，然后 $(x + y + z) ^ 2 \le k ^ 2 (x ^ 2 + 2 y ^2 + 4 z ^ 2)$，然后得到 $k ^ 2\ge (1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4})$，由于必须取等，故 $k = \dfrac{\sqrt 7}{2}$。 ::: --- $\text{P4}$：已知 $x\in[2, 5]$，求证 $\sqrt{4x + 4} + \sqrt{2x - 3} + \sqrt{15 - 3x} < \sqrt{78}$。 :::info[解法] 系数为 $\dfrac{1}{4}, 1, 1$ 可以消去 $x$，由于不可能取等时要求平行，但不满足，所以不能取等。 ::: :::info[补充] 如果你能蹬出最值的话，那么就能够用平行反推出最优系数比值，如果这个比值能消掉 $x$ 的话，那么就能证明一个更紧的限制。 ::: --- $\color{red}\text{P4.1}$：$\text{P4}$ 的方法真是好用呢，但你看看这题还行吗？已知 $x \in [1, 3]$，求证 $\sqrt{2x + 3} + \sqrt{5x + 1} + \sqrt{13 - 3x} \le 9$。 :::info[解法] 做 $\text{P4}$ 时想到的，如果我不设记只剩常数项就能做完的题目，那不就飞了。所以我出了这一道题。 通过神识（瞪眼 $x = 3$ 的时候最值），那么我们知道了系数的最优比值，但是不仅消不掉，还算出来比 $9$ 大，被发现了被发现了被发现了被发现了被发现了怎么办怎么办怎么办怎么办怎么办怎么办怎么办。 带入 $x = 3$ 化成代数形式：$\left(\dfrac{1}{t} + \dfrac{1}{k} + 1\right)(9t + 16k + 4)$，我们要求这玩意的最小值，那么这就好办了。 $$ \left(\dfrac{1}{t} + \dfrac{1}{k} + 1\right)(9t + 16k + 4) \ge (3 + 4 + 2) ^ 2 = 81 $$ 得到各系数，带回即证。 ::: --- $\color{red}\text{P4.2}$：$\text{P4.1}$ 的方法真是好用呢，但你看看这题还行吗？已知 $x \in [0, 13],\ f(x) = \sqrt{x + 27} + \sqrt{13 - x} + \sqrt x$，求 $f(x)_{\max}$。 :::info[解法] 让 3.1p 检查的时候她让我加入这题，有些题目是她建议我加入的。 不是哥们瞪不出在哪取最小值怎么办😭😭😭？ 那就还是老样子吧： $(\sqrt{x + 27} + \sqrt{13 - x} + \sqrt x) ^ 2 \le \left(k(x + 27) + a (13- x) + x \right)(k ^{-1} + a ^{-1} + 1)$。 然后列出平行的条件：$k ^ 2 (x + 27) = a ^ 2 (13 - x) = x$。 然后再列出我们想要消掉 $x$（如果还是消不掉的话那就是 $\text{P4.1}$ 的 trick 了）：$k = a - 1$。 联立得到：$\sqrt{x(x + 27) ^ {-1}} + 1 = \sqrt{x(13 - x)^{-1}}$，然后现在瞪出解为 $x = 9$。 带回去，就做完啦。得到答案：$11$。 ::: --- $\text{P5}$：已知 $a + b = 1, \ f(a, b) = a ^ {-1} + 2 b ^ {-1}$， 求 $f(a, b)_{\min}$。 :::info[解法] 上期讲过了基本不等式的做法，我们现在有了权方和不等式，直接就能做完了~ $f(a, b) \ge \dfrac{(1 + \sqrt 2) ^ 2}{a + b} = 3 + 2\sqrt 2$。 考试记得写取等条件。 ::: --- $\color{grey}\text{P5.1\ (IMO 1995 Q2)}$：已知 $abc = 1, \ f(a, b, c) = (a^3(b + c)) ^{-1} + (b^3(a + c)) ^{-1} + (c^3(a + b)) ^{-1}$， 求 $f(a, b , c)_{\min}$。 :::info[解法] 上期我们已经推到 $f(x, y, z) = g(x, y, z)$，现在我们有了权方和不等式，不再需要 AM-GM 慢慢推了/mg。 $$ g(x, y, z) \ge \dfrac{(x + y + z) ^ 2}{2(x + y + z) }\ge \dfrac{3}{2}。 $$ ::: --- $\color{grey}\text{P5.2}$：已知 $x,y >0,\ x + y = 1, \ f(x, y) = \dfrac{2}{x + 3y} + \dfrac{1}{x - y}$， 求 $f(x, y)_{\min}$。 :::info[解法] $\dfrac{3 + 2\sqrt 2}{2}$。 我本来以为这题要凑一下系数，所以选了。不过似乎不用... 可以改成类似 $\dfrac{4}{2x + 6y}$，或者一些其他的，遇到会自己凑就行啦。 ::: --- $\color{grey}\text{P5.3}$：已知 $x,y >0,\ x + y = 1, \ f(x, y) = \dfrac{x^2}{x + 2} + \dfrac{y ^ 2}{y + 1}$， 求 $f(x, y)_{\min}$。 :::info[解法] $f(x, y) \ge \dfrac{(x + y) ^ 2}{x + y + 3} = \dfrac{1}{4}

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:::info[解法？] 感觉上面这题太简单了，所以我改了一下次数。 考虑使用权方和不等式，然后令 $a = x + y$，然后我们有 $f(x, y) = g(a) = a ^ 2(2 + a) ^ {-1}$。 然后容易得到 $a \in [1, \sqrt 2]$，观察函数，在这个区间单调增。 所以说应该取 $1$？不对不对，因为柯西不等式的取等条件是 $x = y$，但是这里是 $(x, y) = (1, 0)$。 我去这怎么办。 ::: :::info[解法] 做出来的恭喜你，没做完的恭喜你看完解法要气笑了，这题根本不是权方和不等式。 你没发现 $1 - x ^ 2$ 可以和 $x + 1$ 约掉吗？ 然后我们得到 $h(a) = 2 - a$，然后得到 $a$ 在 $\sqrt 2$ 时取最小。 不对啊为什么，我们之前不是说在 $1$ 处取最小吗？ 权方和不等式告诉我们 $g(a) \le h(a)$ 在 $[1, \sqrt 2]$ 上，而这两个函数一个增一个减，所以会造成这样奇怪的结果（可以找 geogebra 画个图）。 所以答案是 $2 - \sqrt 2$。 ::: --- $\text{P6}$：已知 $x,y >0,\ x + y = 1, \ f(x, y) = x^{-2} + 8 y ^{-2}$， 求 $f(x, y)_{\min}$。 :::info[解法] 防止你忘了高次的权方和不等式，答案是 $27$。 如果你不是一下刷完的，记得回去看一下柯西不等式，~~说不定有些东西忘了呢~~。 ::: --- $\text{P7}$：已知 $x,y >0, \ a + 2b + a ^{-1} + 2 b ^ {-1} = 13/2$， 求 $a ^{-1} + 2 b ^ {-1}$ 的最大与最小值。 :::info[解法] 看上去就很对称耶，于是我们关联起 $a ^{-1} + 2 b ^ {-1}$ 与 $a + 2b$ 的大小关系就做完了。 答案：$[2, 9/2]$。 ::: --- $\text{P8}$：已知 $x,y >0,\ x^2 + y^2 = 1, \ f(x, y) = 4x^{-1} + y ^{-1}$， 求 $f(x, y)_{\min}$。 :::info[解法] 单纯提一下广义柯西不等式。 得到答案 $(1 + 2\sqrt[3]{2})^\frac{3}{2}$。 ::: --- $\color{red}\text{P9}$：已知 $x,y,z >0,\ xy + xz + yz = 1, \ f(x, y, z) = \dfrac{x}{\sqrt{x ^ 2 + 1}} + \dfrac{y}{\sqrt{y ^ 2 + 1}} + \dfrac{z}{\sqrt{z ^ 2 + 1}}$， 求证 $f(x, y, z) \le \dfrac{3}{2}$。 :::info[解法？] 3.1p 出给我练的，看着还可以就加上了。 分析题目，发现每一项平方之后都挺可爱的，这让我们想到 QM-AM： $$ f(x, y, z) \le \sqrt 3 \sqrt{x ^ 2 (x ^ 2 + 1)^{-1} + y ^ 2 (y ^ 2 + 1)^{-1} + z ^ 2 (z ^ 2 + 1)^{-1}} $$ 然后转化为证明：$(x ^ 2 + 1) ^ {-1} + (y ^ 2 + 1) ^ {-1} + (z ^ 2 + 1) ^ {-1} \ge 9/4$。 然后，你就发现没有然后了，权方和不等式之后的基本不等式取等条件不一致，这是何等的意味。 ::: :::info[解法] 事实上，$(x ^ 2 + 1) ^ {-1} + (y ^ 2 + 1) ^ {-1} + (z ^ 2 + 1) ^ {-1} \le 9/4$。 你不能学了柯西就只记得柯西了，虽然他看上去很像。 我们需要注意到 $x ^ 2 + 1 = (x + y)(x + z)$ 以及她的两个同类。 然后对于每一个都利用 AM-GM 就做完了。 这题告诉我们经过平方放缩后一般精度丢失会极其严重。 如果你采用了变换之后还是发现分母的不等式方向反了，这也能提醒你对于不等式题目尽量分子分母在一次内放缩。 这题我踩了一大堆坑，即使知道了那个恒等式也犯了很多蠢。 :::