P1768 天路

· · 题解

好题。

这道题每条路有两个权值，且要求的是环内权值之比的最大值，很容易联想到两个算法：Tarjan 和 单源最短路径。

考虑Tarjan，基本思路是求出强连通分量再进行相加比较。由于Tarjan只能求出最大的环，那么它便不能照顾到所有可能解，显然，用Tarjan找环再相加不现实。

考虑单源最短路，显然这道题不能简单的套模板。我们设ans为最优解，则其一定满足

\frac{\Sigma V_{i}}{\Sigma C_{i}}\leqslant ans

（其中，V_{i}和C_{i}为图中任意环上的边权，ans为最优解）

那么，根据不等式的性质进行变换：

由于\Sigma C_{i}一定是正数，所以：

\Sigma V_{i}\leqslant ans*\Sigma C_{i}

等式两边同时减去\Sigma V_{i}，得到：

ans*\Sigma C_{i}-\Sigma V_{i}\geqslant 0

显然，只要一个ans满足这个不等式，那么这个解就一定是可行的。

但是如果一个解可以，那比这个解大的其他解其实都是可以的。（如：对于样例ans=2.3 时，满足上述不等式，但只要ans\geqslant2.3，所有的解都是满足不等式的）

我们要求的是一个最小的满足该等式的ans，所以就是所谓的“最大值里最小的”，而这就是二分答案的标志。

* 那么，我们把每条边都根据二分答案出来的ans，把第i条边的权值修改为$ansC{i}-V{i}$，然后跑SPFA判负环即可。 **

大体思路有了，接下来强调一下细节。

  1. 题目要求的值是一个小数，注意二分答案的数据类型。

  2. 不要用BFS版的SPFA，会超时。用DFS版本的差不多。

  3. 图不一定联通，所以SPFA的起点不能随便找一个。解决问题的方法很简单。建一个超级点，联通它和所有其他点即可。

代码很简单。简单注意一下边的大小就好。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=7007;
struct edge
{
    int to,v,c;
};
vector<edge>G[maxn];
int n,m;
bool vis[maxn];
double dis[maxn];
bool spfa(double ans,int now)//DFS版的SPFA
{
    vis[now]=true;
    for(int i=0;i<G[now].size();i++)
    {
        edge e=G[now][i];
        double x=ans*e.c-e.v;//边的权值，根据二分出来的ans进行修改
        if (dis[e.to]>dis[now]+x)
        {
            if (vis[e.to]) return false;
            else
            {
                dis[e.to]=dis[now]+x;
                vis[now]=true;
                if (!spfa(ans,e.to)) return false;
            }
        }
    }
    vis[now]=false;//记得要回溯
    return true;
}
int main()
{
    scanf("%d %d ",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x,y,v,c;
        scanf("%d %d %d %d",&x,&y,&v,&c);
        G[x].push_back((edge){y,v,c});
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        G[0].push_back((edge){i,0,0});//超级点与每个点都需要联通
    }
    double l=0,r=1000001;//注意这里，l需要从0而不是1开始枚举。具体为什么自己想。
    while(l+0.00001<r)//浮点数的精度问题，应该不需要我强调了？
    {
        memset(dis,127,sizeof(dis));
        memset(vis,false,sizeof(vis));
        dis[0]=0;vis[0]=true;
        double mid=(l+r)/2;
        if (spfa(mid,0)) r=mid;
        else l=mid;
        mid=(l+r)/2;
    }
    if (l==0) printf("-1\n");
    else printf("%.1f\n",l);
    return 0;
}