题解 P3266 【[JLOI2015]骗我呢】

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TAG：数学，DP

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题意

骗你呢

求满足以下条件的n*m的矩阵的个数对10^9+7取模

对于矩阵中的第i行第j列的元素x_{i,j}都有

题解

Part 0 前言

不会做啊！（杠了四五个小时！）

谢两位dalao：blog1、blog2

以下图片大部分来自于此篇文章：http://www.cnblogs.com/coco-night/p/9552677.html，如有冒犯请与我联系，谢谢！

Part 1 朴素DP

首先发现一个很好的性质：

每行是递增的并且一行m个元素，取值只能在[0,m]中选

那么必然该行至多有一个位置与后一个位置相差2，其余的都只相差1

　

由此可以列出一个简单的DP：

$dp[i][j]=\sum_{k=0}^{j+1}dp[i-1][k]

至于上界为什么是j+1可以手动模拟一下，假设这行j没有出现过，上一行试一试j-1、j、j+1、j+2，发现大于j+1的就不合法了

略微优化一下就变成了dp[i][j]=dp[i-1][j+1]+dp[i][j-1]

Part 2 转化为图形

发现这个DP像极了组合数公式，把它套用在坐标系里就是这个样子

自上而下第i行，从左往右第j列的点就表示dp[i][j]，其指向的点就表示可以转移 这样仍然不太好处理，我们继续转化：

还是不好看，给它对称一下：

Part 3 挖掘组合意义

这么一看，不就是从原点出发，只能向右或向上走，不接触直线A,B，到达点(n+m+1,n)的路径条数吗！

直线A:y=x+1，直线B:y=x-(m+2)

Part 4 计算

这种格路数计算（如两双手）都可以考虑采用容斥计数

不考虑其他限制，原点到x,y的方案数是C_{x+y}^x

考虑不合法方案是什么：如依次经过AABBAAAABB

把它缩一下：ABAB

　

可以发现不合法方案要么以A开头要么以B开头

表示为首次跨越的直线是A还是B

所以：答案=总方案数 - A开头的方案数 - B开头的方案数

　

x=n+m+1,y=n$，把$(x,y)$沿$A$对称得到$(x',y')=(y-1,x+1)

每条从(0,0)到(x',y')的路径都依次对应一条以A结尾或者以AB结尾的路径！

如图：（这个图是我自己画的！）

上面是一条以A结尾的路径

上面是一条以AB结尾的路径

所以，总共的不合法方案是

为了减去以A开头的方案，需要减去以A,AB结尾的方案，加上以BA,BAB结尾的方案，减去....

那么实现方式是：把(x,y)沿A翻折，减去答案；将翻折过的点沿B翻着，加上答案；再沿A翻折...

　

同理计算以B开头的方案，就是先沿B折就好了

具体细节的话沿着A折是(x,y)->(y-1,x+1)，沿着B折是(x,y)->(y+(m+2),x-(m+2))

完美解决本题！

代码

#include<iostream>
using namespace std;
const int P=1e9+7,N=3e6+10;
int n,m,up,inv[N],jc[N],inj[N];
int Calc(int x,int y) {return (x<0||y<0)?0:1ll*jc[x+y]*inj[x]%P*inj[y]%P;}
void flip1(int &x,int &y) {swap(x,y);x--;y++;}
void flip2(int &x,int &y) {swap(x,y);x+=m+2;y-=m+2;}
void add(int &x,int y) {x+=y;if(x>=P) x-=P;}
int main()
{
    cin>>n>>m;inv[0]=inv[1]=jc[0]=inj[0]=1;up=max(n,m)*3+1;
    for(int i=2;i<=up;i++) inv[i]=(P-1ll*P/i*inv[P%i]%P)%P;
    for(int i=1;i<=up;i++) jc[i]=1ll*jc[i-1]*i%P,inj[i]=1ll*inj[i-1]*inv[i]%P;
    int x=n+m+1,y=n,ans=Calc(x,y);
    while(x>=0&&y>=0)
    {
        flip1(x,y);add(ans,P-Calc(x,y));
        flip2(x,y);add(ans,Calc(x,y));
    }
    x=n+m+1,y=n;
    while(x>=0&&y>=0)
    {
        flip2(x,y);add(ans,P-Calc(x,y));
        flip1(x,y);add(ans,Calc(x,y));
    }
    return cout<<ans<<endl,0;
}

骗一波访问量（不过应该没有什么人做这题）：https://www.cnblogs.com/xzyxzy