CF259B题解
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前置知识：幻方
幻方的定义
方的要求相对宽泛一点，每个数可以相等，大小也任意。
下面是一些基本的名词：
- $n$ 阶幻方：$n \times n$ 的幻方。
- 幻和：幻方中每一行，每一列，每一条主对角线上几个数的和。
### 幻方的性质
下面便是一个 $3$ 阶幻方：
|$a_1$|$a_2$|$a_3$|
| :- | :- | :- |
|$a_4$|$a_5$|$a_6$|
|$a_7$|$a_8$|$a_9$|
它的性质：
- $a_1 + a_2 + a_3 = a_4 + a_5 + a_6 = a_7 + a_8 + a_9
-
a_1 + a_2 + a_3 = a_1 + a_4 + a_7 = a_2 + a_5 + a_8 = a_3 + a_6 + a_9
-
a_1 + a_2 + a_3 = a_1 + a_5 + a_9 = a_3 + a_5 + a_7
这些性质，其实就是幻方最基本的性质，即：每行，每列，每条主对角线上的和都相等。下面是一些更深层次的性质。
证明：
由基本性质我们得到
a_1 + a_2 + a_3 = a_3 + a_6 + a_9 = a_3+a_5+a_7
约去 a_3，就得到了以上的式子：
a_1+a_2=a_6+a_9=a_5+a_7
类似的，还有：
-
a_4+a_7=a_2+a_3=a_5+a_9
-
a_7+a_9 = a_2+a_5
等等一系列的性质。
接着，有：
下面是证明：
$(a_1+a_5+a_9)+(a_2+a_5+a_8)+(a_3+a_5+a_7)+(a_4+a_5+a_6)
即为 a_1+a_2+a_3+a_4+4a_5+a_6+a_7+a_8+a_9。
换 4 个幻和相加，得到
a_1+a_2+a_3+a_4+4a_5+a_6+a_7+a_8+a_9 = (a_1+a_2+a_3)+(a_4+a_5+a_6)+(a_7+a_8+a_9)+(a_2+a_5+a_8)
化简，得到
3a_5 = a_2+a_5+a_8
即
a_2+a_8=2a_5
由对称性可证明全式成立，得证。
接着，是这道题要用到的一个重要性质：
下面是证明：
\because a_1+a_2+a_3=a_1+a_4+a_7=a_1+a_5+a_9
\therefore a_2+a_3=a_4+a_7=a_5+a_9
\therefore a_2+a_4+a_3+a_7 = 2a_5+2a_9
\because a_3+a_7=2a_5
\therefore a_2+a_4=2a_9
得证。
同时，这个式子的其它 3 个对称式也成立：
**下面，我们可以开始分析本题了。**
## 题目讲解
### 题意
给你一个缺掉其中一条对角线的 $3$ 阶幻方，要求补全整个幻方。
### 分析
这下子，就要用到我们之前讲过的公式了。
- #### 如果是 $a_1$，$a_5$，$a_9$ 这条对角线没有给出数据，那么我们求出 $a_1$，$a_5$，$a_9$ 三个数的值就可以。
下面是这个 $3$ 阶幻方：
|$0$|$a_2$|$a_3$|
|:-|:-|:-|
|$a_4$|$0$|$a_6$|
|$a_7$|$a_8$|$0$|
首先 $a_5$ 由我们给出的公式 $a_2+a_8=2a_5$ 就可以推出 $a_5$ 的值；
其次 $a_1$ 和 $a_9$ 由我们给出的公式 $a_6+a_8=2a_1$ 和 $a_2+a_4=2a_9$ 就可以推出 $a_1$ 与 $a_9$ 的值。
- #### 如果是 $a_3$，$a_5$，$a_7$ 这条对角线没有给出数据，那么我们求出 $a_3$，$a_5$，$a_7$ 三个数的值就可以。
下面是这个 $3$ 阶幻方：
|$a_1$|$a_2$|$0$|
|:-|:-|:-|
|$a_4$|$0$|$a_6$|
|$0$|$a_8$|$a_9$|
首先 $a_5$ 的值与上面没有区别，还是 ${a_4+a_6} \over 2$；
其次 $a_3$ 和 $a_7$ 由我们给出的公式 $a_4+a_8=2a_3$ 和 $a_2+a_6=2a_7$ 就可以推出 $a_3$ 与 $a_7$ 的值。
那么，我们便求出了每一个数字的值，挨个输出即可。
这样，我们便可以写出本题的 AC 代码。时间复杂度 $O(1)$。
## 代码
下面是 AC 代码：[AC 代码](https://www.luogu.com.cn/paste/xea1en7c)
```cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
int a[4][4],i,j;//也可以使用一个二维数组来存储
for(i = 1;i <= 3;i++)
{
for(j = 1;j <= 3;j++)
{
cin >> a[i][j];
}
}
if(a[1][1] == 0)
{
a[1][1] = (a[2][3] + a[3][2]) / 2;
a[2][2] = (a[2][1] + a[2][3]) / 2;
a[3][3] = (a[1][2] + a[2][1]) / 2;
}
else
{
a[1][3] = (a[2][1] + a[3][2]) / 2;
a[2][2] = (a[2][1] + a[2][3]) / 2;
a[3][1] = (a[1][2] + a[2][3]) / 2;
}
for(i = 1;i <= 3;i++)
{
for(j = 1;j <= 3;j++)
{
cout << a[i][j] << " ";
}
cout << endl;
}
return 0;
}
```