题解 CF573D 【Bear and Cavalry】

_sys · 2020-10-31 10:56:08 · 题解

我们设 \mathrm{ban}_i 表示 i 不能匹配的马。

则有结论：我们把 w, h 排序后，每个人 i 匹配的马必定在 [i-2, i+2] 中。

证明：我们把每个人当作一个点放在左边，每匹马当作一个点放在右边。根据排序不等式，a_1 \leq a_2, b_1 \leq b_2 则 a_1b_1+a_2b_2 \geq a_2b_1+a_1b_2。我们把匹配的人和马连边，则不交叉比交叉的权值更大，或者说，逆序对往更少调整，权值更大。

那么，我们考虑一组匹配 (i, i + 3)。

此时，左下比右下多了三个点，所以至少有三组匹配跨越了 (i, i + 3)（红线）。红线中可能有一匹马为 \mathrm{ban_i}，我们无法交换它和 (i, i+3)；有一个人 j 的 \mathrm{ban} 为 i + 3，我们也无法交换它和 (i, i + 3)。但这样总会剩下一组可以交换。交换后，逆序对数变少了，显然权值更大。所以不会存在 (i, i+3) 的匹配。(i, i-3) 同理。

同时，我们也可以通过交换的过程得到一条性质：如果前 i 个人和前 i 匹马匹配完成，那么存在 k\leq 3，使得 [i, i+k] 中的人和马匹配。和上文一样可以用反证法，得到必然存在一种交换方式。

所以，我们设 f_i 表示前 i 个人和前 i 匹马匹配完成的最大权值，只从 f_{i-3}, f_{i-2}, f_{i-1} 转移。

由于有修改，我们直接用动态 dp 就好。

时间复杂度：O(n\log n \omega^3)，其中 \omega=3。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const long long inf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;
const int Maxn = 30005;
int n, q, ban[Maxn], ord1[Maxn], ord2[Maxn], pos1[Maxn], pos2[Maxn];
long long a[Maxn], b[Maxn];
struct Matrix
{
    long long val[3][3];
    Matrix()
    {
        for (int i = 0; i <= 2; i++)
            for (int j = 0; j <= 2; j++)
                val[i][j] = -inf;
    }
    Matrix operator * (const Matrix &A) const
    {
        Matrix ans;
        for (int i = 0; i <= 2; i++)
            for (int j = 0; j <= 2; j++)
                for (int k = 0; k <= 2; k++)
                    ans.val[i][k] = max(ans.val[i][k], val[i][j] + A.val[j][k]);
        return ans;
    }
};
struct Tree
{
    int lt, rt;
    Matrix val;
} tree[4 * Maxn];
Matrix gen(int x)
{
    Matrix result;
    result.val[0][0] = (x > 2 && ban[x - 2] != x - 2) ? a[x - 2] * b[x - 2] : -inf;
    result.val[0][1] = (x > 2 && ban[x - 2] != x - 1 && ban[x - 1] != x - 2) ? a[x - 2] * b[x - 1] + a[x - 1] * b[x - 2] : -inf;
    result.val[0][2] = (x > 2 && ban[x - 2] != x - 1 && ban[x - 1] != x && ban[x] != x - 2) ? a[x - 2] * b[x - 1] + a[x - 1] * b[x] + a[x] * b[x - 2] : -inf;
    result.val[0][2] = max(result.val[0][2], (x > 2 && ban[x - 2] != x && ban[x - 1] != x - 2 && ban[x] != x - 1) ? a[x - 2] * b[x] + a[x - 1] * b[x - 2] + a[x] * b[x - 1] : -inf);
    result.val[1][0] = 0;
    result.val[1][1] = (x > 1 && ban[x - 1] != x - 1) ? a[x - 1] * b[x - 1] : -inf;
    result.val[1][2] = (x > 1 && ban[x - 1] != x && ban[x] != x - 1) ? a[x - 1] * b[x] + a[x] * b[x - 1] : -inf;
    result.val[2][1] = 0;
    result.val[2][2] = (ban[x] != x) ? a[x] * b[x] : -inf;
    return result;
}
void build(int root, int lt, int rt)
{
    tree[root] = (Tree){lt, rt};
    if (lt + 1 == rt)
        tree[root].val = gen(lt);
    else
    {
        int mid = (lt + rt) >> 1;
        build(root << 1, lt, mid);
        build(root << 1 | 1, mid, rt);
        tree[root].val = tree[root << 1].val * tree[root << 1 | 1].val;
    }
}
void modify(int root, int pos)
{
    if (tree[root].lt + 1 == tree[root].rt)
        tree[root].val = gen(tree[root].lt);
    else
    {
        int mid = (tree[root].lt + tree[root].rt) >> 1;
        if (pos >= mid) modify(root << 1 | 1, pos);
        else modify(root << 1, pos);
        tree[root].val = tree[root << 1].val * tree[root << 1 | 1].val;
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &q);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%lld", &a[i]), ord1[i] = i;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%lld", &b[i]), ban[i] = i, ord2[i] = i;
    sort(ord1 + 1, ord1 + 1 + n, [](int x, int y){return a[x] < a[y];});
    sort(ord2 + 1, ord2 + 1 + n, [](int x, int y){return b[x] < b[y];});
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        pos1[ord1[i]] = i, pos2[ord2[i]] = i;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        ban[pos1[i]] = pos2[i];
    sort(a + 1, a + 1 + n);
    sort(b + 1, b + 1 + n);
    build(1, 1, n + 1);
    while (q--)
    {
        int x, y;
        scanf("%d%d", &x, &y);
        swap(ban[pos1[x]], ban[pos1[y]]);
        for (int i = max(1, pos1[x] - 2); i <= min(n, pos1[x] + 2); i++)
            modify(1, i);
        for (int i = max(1, pos1[y] - 2); i <= min(n, pos1[y] + 2); i++)
            modify(1, i);
        Matrix res;
        res.val[0][2] = 0;
        printf("%lld\n", (res * tree[1].val).val[0][2]);
    }
    return 0;
}