CF468C Hack it! 题解

· · 题解

首先，一般的 \sum_{i=l}^rf(i) 是没有什么性质的，所以我们需要想一想什么样的 l,r 有性质。

我们不难想到两两配对：f(10^x-1)+f(10^x)=f(10^x-2)+f(10^x+1)=\dots=9x+1。

证明是显然的，因为它们末几位刚还是一个“配对”的关系，所以刚好可以配凑起来。

于是我们有以下构造：取 x\ge19，则

\begin{aligned} \displaystyle \sum_{i=10^x-a}^{10^x+a-1}f(i)&=\sum_{i=1}^af(10^x-a)+f(10^x+a-1)\\&=\sum_{i=1}^a9x+1\\&=(9x+1)a\\&\equiv0\pmod a \end{aligned}

代码：（可能是最短解？）

a=int(input())
print(10**50-a,10**50+a-1)