题解 P2791 【幼儿园篮球题】

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幼儿园篮球题

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思路

不难发现，我们要求的答案实际上是这个东西:

\frac{\sum_{i=0}^{k} i^{L}\binom{m}{i} \binom{n-m}{k-i}}{\binom{n}{k}}

于是，我们只需求到分子即可。我们开始愉快的化式子了。

\sum_{i=0}^{k} i^L \binom{m}{i} \binom{n-m}{k-i}

我们发现里面难搞的其实是i^L，但是我们又有式子：

n^m=\sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} i!\begin{Bmatrix} m \\ i\end{Bmatrix}

对于这个式子的感性证明就是：假设我们现在有m个小球，要放进n个盒子里面，没有限制，显然它等于n^m。但是，我们还有一种求法，即，我们选出i个盒子放m个小球，显然要选出i个盒子，然后把m个小球塞进去，又因为盒子不同，所以还要乘上i!。

将上式代入式子中，可以得到:

=\sum_{i=0}^{k} \binom{m}{i} \binom{n-m}{k-i} \sum_{j=0}^{i} \binom{i}{j} j! \begin{Bmatrix} L\\ j\end{Bmatrix} =\sum_{j=0}^{k} \begin{Bmatrix} L\\ j\end{Bmatrix} j!\sum_{i=j}^{k} \binom{i}{j} \binom{m}{i} \binom{n-m}{k-i}

又因为

\binom{m}{i} \binom{i}{j}=\binom{m}{j} \binom{m-j}{i-j}

这个式子展开之后易证。

所以原式等于:

=\sum_{j=0}^{k} \begin{Bmatrix} L\\ j\end{Bmatrix} j! \binom{m}{j} \sum_{i=j}^{k} \binom{m-j}{i-j}\binom{n-m}{k-i} =\sum_{j=0}^{k} \begin{Bmatrix} L\\ j\end{Bmatrix} j! \binom{m}{j} \sum_{i=0}^{k-j} \binom{m-j}{i}\binom{n-m}{k-i-j}

然后你发现后面那个式子是范德蒙德卷积，就等于:

\binom{n-j}{k-j}

所以原式等于:

=\sum_{j=0}^{k} \begin{Bmatrix} L\\ j\end{Bmatrix}j!\binom{m}{j}\binom{n-j}{k-j}

又因为上面提到的n^m=\sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} i!\begin{Bmatrix} m \\ i\end{Bmatrix}，这个东西我们可以使用二项式反演得到：

\begin{Bmatrix} m \\ n\end{Bmatrix}=\sum_{i=0}^{n} \frac{i^m}{i!} \frac{(-1)^{n-i}}{(n-i)!}

然后你就发现这是个卷积形式，于是我们就可以\Theta(L\log L)预处理出\begin{Bmatrix} L \\ j\end{Bmatrix}。

不过因为这道题十分卡常，所以我们还需要再化一下式子。

\text {ans}=\frac{\sum_{j=0}^{k}\begin{Bmatrix} L \\ j\end{Bmatrix} j!\binom{m}{j} \binom{n-j}{k-j}}{\binom{n}{k}} =(\sum_{j=0}^{k} \begin{Bmatrix} L \\ j\end{Bmatrix} j! \frac{m!}{j!(m-j)!} \frac{(n-j)!}{(k-j)!(n-k)!})\frac{k!(n-k)!}{n!} =(\sum_{j=0}^{k} \begin{Bmatrix} L \\ j\end{Bmatrix} \frac{(n-j)!}{(m-j)!(k-j)!})\frac{k!m!}{n!}

我们又发现上界其实是\min\{n,k,L\}，所以至此，我们可以\Theta(L\log L+SL)解决此题目。

不得不说这道题真的卡常:

\text {Code}

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define Int register int
#define MAXX 20000005
#define mod 998244353
#define Gi 332748118
#define MAXN 800005
#define G 3 

int quick_pow (int a,int b,int c){
    int res = 1;
    while (b){
        if (b & 1) res = 1ll * res * a % c;
        a = 1ll * a * a % c;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

int l,limit,r[MAXN];

void NTT (int *a,int type){
    for (Int i = 0;i < limit;++ i)
        if (i < r[i]) swap (a[i],a[r[i]]);
    for (Int mid = 1;mid < limit;mid <<= 1){
        int Wn = quick_pow (type == 1 ? G : Gi,(mod - 1) / (mid << 1),mod);
        for (Int R = mid << 1,j = 0;j < limit;j += R){
            int w = 1;
            for (Int k = 0;k < mid;++ k,w = 1ll * w * Wn % mod){
                int x = a[j + k],y = 1ll * w * a[j + k + mid] % mod;
                a[j + k] = (x + y) % mod,a[j + k + mid] = (x + mod - y) % mod;
            } 
        } 
    }
    if (type == 1) return ; 
    int Inv = quick_pow (limit,mod - 2,mod);
    for (Int i = 0;i < limit;++ i) a[i] = 1ll * a[i] * Inv % mod;
}

template <typename T> inline void read (T &t){t = 0;char c = getchar();int f = 1;while (c < '0' || c > '9'){if (c == '-') f = -f;c = getchar();}while (c >= '0' && c <= '9'){t = (t << 3) + (t << 1) + c - '0';c = getchar();} t *= f;}
template <typename T,typename ... Args> inline void read (T &t,Args&... args){read (t);read (args...);}
template <typename T> inline void write (T x){if (x < 0){x = -x;putchar ('-');}if (x > 9) write (x / 10);putchar (x % 10 + '0');}

int N,M,S,L;
int A[MAXN],B[MAXN];

int inv[MAXX],fac[MAXX];

void SiteLin (int n){
    for (Int i = 0;i <= n;++ i){
        A[i] = (i & 1) ? mod - inv[i] : inv[i];
        B[i] = 1ll * quick_pow (i,n,mod) * inv[i] % mod;
    }
    limit = 1,l = 0;
    while (limit <= (n << 1)) limit <<= 1,l ++;
    for (Int i = 0;i < limit;++ i) r[i] = (r[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << l - 1);
    NTT (A,1),NTT (B,1);
    for (Int i = 0;i < limit;++ i) A[i] = 1ll * A[i] * B[i] % mod;
    NTT (A,-1);
}

int C (int n,int m){
    return 1ll * fac[n] * inv[m] % mod * inv[n - m] % mod;
}

signed main(){
    read (N,M,S,L);
    inv[0] = inv[1] = fac[0] = 1;int uu = max (N,L);
    for (Int i = 1;i <= uu;++ i) fac[i] = 1ll * fac[i - 1] * i % mod;
    inv[uu] = quick_pow (fac[uu],mod - 2,mod);
    for (Int i = uu - 1;~i;-- i) inv[i] = 1ll * inv[i + 1] * (i + 1) % mod;
    SiteLin (L);
    while (S --){
        int n,m,k;
        read (n,m,k);int ans = 0;
        for (Int i = 0;i <= min (L,min (m,k));++ i) ans = (ans + 1ll * A[i] * inv[m - i] % mod * fac[n - i] % mod * inv[k - i]) % mod;
        write (1ll * ans * fac[m] % mod * fac[k] % mod * inv[n] % mod),putchar ('\n');
    }
    return 0;
}