题解 P7116 【微信步数】

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称 n 步为一轮，首先 -1 的情况很好判断：一轮后回到原地且在第一轮里存在某个起点走不出去。

我们把要求的答案转换一下：原本是考虑每个起点各自走多少步出界，现在转换成同时考虑所有起点，把每天还 存活的起点 数量计入贡献。（这里存活就是指从该起点出发到某天还没出界）

显然，只要把第 0 天活着的起点算进去（也就是 \prod w_i），就和要算的答案等价了。

一共 m 个维度，每个维度存活的位置是独立的，并且应是一段区间（只有开头、结尾的一部分会死亡）。

如果第 j 维存活的区间是 [l_j,r_j]，那总共存活的数量就为 \prod\limits_{j=1}^m(r_j-l_j+1) 。

根据这个想法，可以得到一个 O(nmT) 的算法，其中 T 最长轮数，最坏情况下为 \max(w_j) 。

以下代码实测可以拿 45 分：

int w[20], e[20], l[20], r[20];
int c[N], d[N];
int n, m;

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    LL ans = 1;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        scanf("%d", &w[i]);
        ans = ans * w[i] % mod;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d%d", &c[i], &d[i]);
    }
    while (1) {
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            e[c[i]] += d[i];
            l[c[i]] = min(l[c[i]], e[c[i]]);
            r[c[i]] = max(r[c[i]], e[c[i]]);
            LL s = 1;
            for (int j = 1; j <= m; j++) {
                if (r[j] - l[j] >= w[j]) goto M1;
               s = s * (w[j] - r[j] + l[j]) % mod;
            }
            ans = (ans + s) % mod;
        }
        bool lose = 1;
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            if (e[j] != 0) lose = 0;
        }
        if (lose) {
            ans = -1;
            break;
        }
    }
M1:
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}

下面考虑第 j 维：

在第一轮第 i 步时，历史移动最大位移为 [l_i,r_i]，那么死亡的起点数量应该为 r_i-l_i 个。

这是因为 [1,-l_i] 和 [n-r_i+1,n] 范围内的起点已经死了。

假设第一轮总偏移量为 e_j，在第二轮第 i 步时，历史移动最大位移应为 [\min(l_i,e_j+l_i),\max(r_i,e_j+r_i)]。

只要 e_j\neq 0，无论 e_j 的正负，会有起点在第二轮是新死的。

把第一轮结束时的最大位移 [l_n,r_n] 作为边界，求第二轮第 i 步时的左右扩张范围 [l'_i,r'_i]，只需如下计算：

r[i][j] = max(0, r[i][j] + e[j] - r[n][j]);
l[i][j] = min(0, l[i][j] + e[j] - l[n][j]);

那么 r'_i-l'_i 就是第二轮中 1\sim i 步里新死的人。

容易发现一个事实：第 2，3，4\cdots 轮里每步的死亡情况是一致的，只有第一轮是特殊的。（可以画个图理解下，除了第一轮外，其他轮都存在被上一轮已经扩张过的地方，死过的起点不会再死一次）

有了这个周期规律就可以优化了：

首先第一轮单独算，只考虑第二轮开始的。

设第一轮后还活着 a_j 个起点，接下来每轮结束都有 b_j 个起点死亡，最后一轮的 1\sim i 步一共死了 f_i=r'_i-l'_i 个点。

那么可以得到在 x+2 轮的第 i 步时，第 j 维还活着 a_j-x\times b_j-f_i 个点，贡献为 \prod\limits_{j=1}^m a_j-x\times b_j-f_i。

设 T=\min\limits_{j=1}^m\frac{a_j-f_i}{b_j}，那么我们需要外层枚举 i ，内层枚举 x=0,1,2,\ldots,T 。

（注意这里可能出现 a_j-f_i\le 0 的情况，说明第二轮这个维度的起点就死光了，那后面就不用算了）

如果老老实实这样枚举 x ，和之前做法就一样了。

要算的其实是 \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{x=0}^T\prod\limits_{j=1}^m a_j-x\times b_j-f_i

内层 \prod 展开后，得到一个关于 x 的 m 次多项式 G(x)，这个多项式系数可以暴力 O(m^2) 来算（我这里没有优化）

然后对多项式每项 p_ix^k，只要单独算 \sum\limits_{x=0}^T x^k 即可。

关于计算 \sum\limits_{i=1}^n i^k 参考 传送门。

而对本题而言， k\le 3 直接用公式，而 k > 3 时，n 不超过 10^6 直接预处理也可以。

时间复杂度 O(nm^2)，代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const LL mod = 1e9 + 7;
const int N = 500005;

LL pow_mod(LL x, LL n) {
    LL res = 1;
    while (n) {
        if (n & 1) res = res * x % mod;
        n >>= 1;
        x = x * x % mod;
    }
    return res;
}

LL fac[N];
// 计算 1^m+2^m+3^m+...+n^m
LL cal(LL n, LL m) {
    LL res = 0;
    if (n <= m + 2) {
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            res = (res + pow_mod(i, m)) % mod;
        }
    } else {
        fac[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= m + 1; i++) {
            fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
        }
        LL t = 1;
        for (int i = 1; i <= m + 2; i++) {
            t = t * (n - i) % mod;
        }
        LL y = 0;
        int flag = (m + 2) % 2 ? 1 : -1;
        for (int i = 1; i <= m + 2; i++) {
            y = (y + pow_mod(i, m)) % mod;
            res += flag * y * t % mod * pow_mod(n - i, mod - 2) % mod * pow_mod(fac[i - 1] * fac[m + 2 - i] % mod, mod - 2) % mod;
            flag = -flag;
        }
        res = (res % mod + mod) % mod;
    }
    return res;
}

int w[20], e[20], l[N][20], r[N][20];
int a[20], b[20], h[20];
LL f[20][20];
int c[N], d[N];
int n, m;

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        scanf("%d", &w[i]);
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d%d", &c[i], &d[i]);
        e[c[i]] += d[i];
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            l[i][j] = l[i - 1][j];
            r[i][j] = r[i - 1][j];
        }
        l[i][c[i]] = min(l[i][c[i]], e[c[i]]);
        r[i][c[i]] = max(r[i][c[i]], e[c[i]]);
    }
    bool lose = 1;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        if (e[i] != 0 || r[n][i] - l[n][i] >= w[i]) {
            lose = 0;
        }
    }
    if (lose) return puts("-1"), 0;
    for (int j = 1; j <= m; j++) {
        a[j] = w[j] - (r[n][j] - l[n][j]);
    }
    LL ans = 0;
    // 第一轮贡献
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        LL s = 1;
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            s = s * max(0, (w[j] - (r[i][j] - l[i][j]))) % mod;
        }
        ans = (ans + s) % mod;
    }
    // 第二轮的死亡范围更新
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            r[i][j] = max(0, r[i][j] + e[j] - r[n][j]);
            l[i][j] = min(0, l[i][j] + e[j] - l[n][j]);
        }
    }
    for (int j = 1; j <= m; j++) {
        b[j] = r[n][j] - l[n][j];
    }
    // 第二轮开始的贡献

    int last = -1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 0; j <= m; j++) f[0][j] = 0;
        f[0][0] = 1;
        int t = INF;
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            int x = a[j] - r[i][j] + l[i][j];
            if (x <= 0) goto M1;  // 第二轮就暴毙了
            if (b[j] > 0) t = min(t, x / b[j]);
            for (int k = 0; k <= m; k++) {
                f[j][k] = f[j - 1][k] * x % mod;
                if (k > 0)
                    f[j][k] = (f[j][k] + f[j - 1][k - 1] * -b[j]) % mod;
            }
        }
        ans += f[m][0] * (t + 1) % mod;
        if (t != last) {
            last = t;
            for (int j = 1; j <= m; j++) h[j] = cal(t, j);
        }
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            ans += h[j] * f[m][j] % mod;
        }
    }
M1:;
    ans = (ans % mod + mod) % mod;
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}